Question

2．已知直線L₂：y=-3x+24，直線L₁：y=$\frac{1}{2}$x+3，交于點C，直線L₁和直線L₂分別交x軸于B、A，過點A作AD⊥x軸并交L₁于D，過點D作DE∥x軸并交L₂于E，再過E作x軸垂線，垂足為F，得到矩形GDEF（G與A重合）
（1）求△ABC的面積；
（2）求矩形GDEF的邊DE和EF的長；
（3）若將矩形GDEF沿x軸的負方向以每秒一個單位長度的速度平移，設(shè)移動時間為t（s）（0≤t≤14），求矩形GDEF平移過程中，矩形GDEF與△ABC公共部分的面積S與矩形運動時間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出相應(yīng)的t的范圍．

Answer 1

分析 （1）將y=0分別代入兩直線解析式，即可得出A、B點的坐標，令-3x+24=$\frac{1}{2}$x+3，解方程可得出C點的橫坐標，將其代入直線解析式中即可得出C點的縱坐標，結(jié)合三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（2）依照題意畫出圖形，將x=8代入直線L₁中解出D點橫坐標，由此能得出D點的坐標；再將D點的縱坐標代入直線L₂中可求得E點的橫坐標，由此可得出點E的坐標；由EF⊥x軸即可得出F點的坐標，結(jié)合點的坐標即可求出DE和EF的長；
（3）由DE=$\frac{7}{3}$＞2，可知整個運動過程可以分三部分討論，根據(jù)直線的斜率可得出分割圖形，結(jié)合三角形和梯形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令y=0，則有-3x+24=0和$\frac{1}{2}$x+3=0，
解得：x=8和x=-6，
∴點B的坐標為（-6，0），點A的坐標為（8，0）．
令-3x+24=$\frac{1}{2}$x+3，解得：x=6，
此時y=$\frac{1}{2}$×6+3=6，即點C的坐標為（6，6）．
∴△ABC的面積S_△ABC=$\frac{1}{2}$×[8-（-6）]×6=42．
（2）依照題意畫出圖形，如圖1所示．

將x=8代入直線L₁：y=$\frac{1}{2}$x+3中，
得：y=$\frac{1}{2}$×8+3=7，
即點D的坐標為（8，7）；
將y=7代入直線L₂：y=-3x+24，
則有7=-3x+24，解得：x=$\frac{17}{3}$，
即點E的坐標為（$\frac{17}{3}$，7）；
又∵EF⊥x軸，
∴點F的坐標為（$\frac{17}{3}$，0）．
∴DE=8-$\frac{17}{3}$=$\frac{7}{3}$，EF=7-0=7．
（3）隨著矩形的運動，分三種情況：
①點C在線段DG的左側(cè)，如圖2所示．

此時0≤AG＜8-6，即0≤t＜2．
AG=t，NG=3AG=3t，BF=AB-FG-AG=14-$\frac{7}{3}$-t=$\frac{35}{3}$-t，MF=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{35}{6}$-$\frac{t}{2}$．
此時S=S_△ABC-S_△BFM-S_△AGN=42-$\frac{1}{2}$BF•MF-$\frac{1}{2}$AG•NG=-$\frac{7}{4}{t}^{2}$+$\frac{35}{6}$t+$\frac{287}{36}$；
②點C在線段DG的右側(cè)（或在線段DG上），點B在線段EF的左側(cè)（或在線段EF上），由圖3所示．

此時8-6≤AG≤AB-FG，即2≤t≤$\frac{35}{3}$，
AG=t，BG=AB-AG=14-t，NG=$\frac{1}{2}$BG=7-$\frac{1}{2}$t，BF=AB-AG-FG=$\frac{35}{3}$-t，MF=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{35}{6}$-$\frac{1}{2}$t．
此時S=$\frac{1}{2}$（MF+NG）•FG=$\frac{1}{2}$×（$\frac{35}{6}$-$\frac{1}{2}$t+7-$\frac{1}{2}$t）×$\frac{7}{3}$=-$\frac{7}{6}$t+$\frac{539}{36}$；
③點B在EF的右邊，點B在線段DG的左側(cè)（或在線段DG上），如圖4所示．

此時AB-FG＜AG≤AB，即$\frac{35}{3}$＜t≤14，
AG=t，BG=AB-AG=14-t，NG=$\frac{1}{2}$BG=7-$\frac{1}{2}$t．
此時S=$\frac{1}{2}$BG•NG=$\frac{1}{2}$×（14-t）×（7-$\frac{1}{2}$t）=$\frac{1}{4}{t}^{2}$-7t+49．
綜上可知：矩形GDEF與△ABC公共部分的面積S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{7}{4}{t}^{2}+\frac{35}{6}t+\frac{287}{36}（0≤t＜2）}\\{-\frac{7}{6}t+\frac{539}{36}（2≤t≤\frac{35}{3}）}\\{\frac{1}{4}{t}^{2}-7t+49（\frac{35}{3}＜t≤14）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、三角形的面積公式、梯形的面積公式以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）求出A、B、C三點的坐標；（2）求出D、E、F三點的坐標；（3）依照運動過程分段考慮．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大；（3）利用矩形運動過程中圖形的不同分三部分考慮，期間用到了分割圖形求面積，分割法是我們中學(xué)階段常用到的求面積的手段，在日常學(xué)習中應(yīng)加強練習．