Question

6．如圖，已知拋物線y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x-$\frac{8}{3}$與x軸交于A、B（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D，點E在線段AB上，且AE：EB=1：2．
（1）請直接寫出點A、B、D、E的坐標(biāo)；
（2）作直線AD，將直線AD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α°（0°＜α＜180°），速度為5°/s，旋轉(zhuǎn)到某一時刻，在該直線上存在一點M，使以M、E、B為頂點的三角形是直角三角形，且滿足條件的點M有且只有三個不同位置，求旋轉(zhuǎn)時間；
（3）連接AC，在x軸上方的拋物線上找一點P，使∠CAP=45°，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）只需令y=0就可求出點A、B的坐標(biāo)，把拋物線的解析式配成頂點式就可得到頂點D的坐標(biāo)，根據(jù)條件AE：EB=1：2就可求出點E的坐標(biāo)；
（2）顯然，旋轉(zhuǎn)后的直線上使得∠MEB=90°和∠EBM=90°的點M各有一個，要使?jié)M足條件的點M有且只有三個，只需旋轉(zhuǎn)后的直線上使得∠EMB=90°的點M只有一個，由于點M在以BE為直徑的⊙O上，因此旋轉(zhuǎn)后的直線與⊙O只有一個交點，即該直線與⊙O相切于M，則OM⊥AM，如圖1、圖2，只需利用三角函數(shù)求出∠OAM，就可解決問題；
（3）設(shè)直線AP與y軸交于點Q，過點Q作QH⊥AC于H，如圖3，通過解△ACQ就可求出QC，從而得到點Q的坐標(biāo)，要求點P的坐標(biāo)只需求出直線AP的解析式，由于點A、Q的坐標(biāo)已知，只需運用待定系數(shù)法就可解決問題．

解答 解：（1）令y=0，得$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x-$\frac{8}{3}$=0，
解得x₁=-4，x₂=2，
∴A（-4，0），B（2，0）．
∴AB=2-（-4）=6，OA=4，
由y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}（x+1）^{2}-3$得D（-1，-3），
∵AE：EB=1：2，
∴AE=$\frac{1}{3}AB$=2，
∴OE=2，
∴E（-2，0）；

（2）顯然，旋轉(zhuǎn)后的直線上使得∠MEB=90°和∠EBM=90°的點M各有一個，
要使?jié)M足條件的點M有且只有三個，只需旋轉(zhuǎn)后的直線上使得∠EMB=90°的點M只有一個，
由于點M在以BE為直徑的⊙O上，因此旋轉(zhuǎn)后的直線與⊙O只有一個交點，
即該直線與⊙O相切于M，則OM⊥AM，如圖1、圖2，

在Rt△AMO中，sin∠OAM=$\frac{OM}{OA}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OAM=30°．
∵tan∠OAD=$\frac{3}{-1-（-4）}$=1，
∴∠OAD=45°，
∴t₁=$\frac{45-30}{5}$=3，t₂=$\frac{45+30}{5}$=15．
∴旋轉(zhuǎn)時間為3秒或15秒；

（3）設(shè)直線AP與y軸交于點Q，過點Q作QH⊥AC于H，如圖3，

則有∠PAC=45°，C（0，-$\frac{8}{3}$），OC=$\frac{8}{3}$．
∴tan∠ACO=$\frac{4}{\frac{8}{3}}$=$\frac{3}{2}$，AC=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{8}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$．
設(shè)HC=2x，由tan∠HCQ=$\frac{QH}{CH}$=$\frac{3}{2}$得QH=3x．
由tan∠QAH=$\frac{QH}{AH}$=1得AH=QH=3x，
∴AC=3x+2x=5x=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$，
∴x=$\frac{4\sqrt{13}}{15}$，
∴QC=$\sqrt{H{C}^{2}+Q{H}^{2}}$=$\sqrt{（2x）^{2}+（3x）^{2}}$=$\sqrt{13}$x=$\frac{52}{15}$，
∴OQ=$\frac{52}{15}$-$\frac{8}{3}$=$\frac{12}{15}$=$\frac{4}{5}$，
∴Q（0，$\frac{4}{5}$）．
設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{5}}\\{b=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$
∴直線AP的解析式為y=$\frac{1}{5}$x+$\frac{4}{5}$．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-4}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{13}{5}}\\{{y}_{2}=\frac{33}{25}}\end{array}\right.$
∴點P的坐標(biāo)為（$\frac{13}{5}$，$\frac{33}{25}$）．

點評 本題主要考查了運用待定系數(shù)法求直線的解析式、拋物線上點的坐標(biāo)特征、直線與拋物線的交點問題、三角函數(shù)、勾股定理、圓周角定理、直線與圓相切等知識，綜合性比較強，難度比較大，把問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系是解決第（2）小題的關(guān)鍵，通過解△ACQ求出QC是解決第（3）小題的關(guān)鍵．