Question

13．如圖，四邊形ABCD是邊長為2，一個銳角等于60°的菱形紙片，小芳同學將一個三角形紙片的一個頂點與該菱形頂點D重合，按順時針方向旋轉三角形紙片，使它的兩邊分別交CB、BA（或它們的延長線）于點E、F，∠EDF=60°，當CE=AF時，如圖1小芳同學得出的結論是DE=DF．
（1）繼續(xù)旋轉三角形紙片，當CE≠AF時，如圖2小芳的結論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由；
（2）再次旋轉三角形紙片，當點E、F分別在CB、BA的延長線上時，如圖3請直接寫出DE與DF的數量關系；
（3）在（2）的條件下連EF，若△DEF的面積為y，BE=x，求y與x的關系式．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質得到△ABD是等邊三角形，再證明△ADF≌△BDE即可；
（2）由菱形的性質得到△ABD是等邊三角形，再證明△ADF≌△BDE即可；
（3）利用全等三角形的面積相等，再直接計算面積．

解答 （1）DF=DE．
證明：如圖2，連接BD，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB．
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠A=60°
∵∠EDF=60°，
∴∠ADF=∠BDE，
在△ADF與△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠BDE}\\{AD=BD}\\{∠A=∠DBE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BDE（ASA），
∴DF=DE；
（2）DF=DE．
如圖3，連接BD．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB．
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠A=60°
∵∠EDF=60°，
∴∠ADF=∠BDE．
在△ADF與△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠BDE}\\{AD=BD}\\{∠DAF=∠DBE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BDE（ASA），
∴DF=DE；
（3）由（2）知，△ADF≌△BDE．則S_△ADF=S_△BDE，
設AF=BE=x．
∴y=S_△BEF+S_△ABD=$\frac{1}{2}$（2+x）$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$x+$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1）²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
即y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1）²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點評 此題幾何變換綜合題，主要考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，判斷三角形是等邊三角形（△ABD是等邊三角形）是解本題的關鍵．