Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中A（1，0），B（0，3）分別是x軸，y軸上的兩點(diǎn)，以AB為邊在第一象限內(nèi)作正方形ABCD，點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象上，將正方形沿x軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長度后，點(diǎn)C恰好落在反比例函數(shù)的圖象上．

Answer 1

分析 過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)正方形的性質(zhì)以及角的計(jì)算即可證出△OBA≌△EAD（AAS），結(jié)合點(diǎn)A、B的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，由點(diǎn)B的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出反比例函數(shù)解析式，再根據(jù)正方形的性質(zhì)以及點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)平移后點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3-a，4），利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于a的分式方程，解方程求出a值，此題得解．

解答 解：過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖所示．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠OAB+∠EAD=90°，
又∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠EAD．
在△OBA和△EAD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OBA=∠EAD}\\{∠BOA=∠AED=90°}\\{BA=AD}\end{array}\right.$，
∴△OBA≌△EAD（AAS），
∴BO=AE，OA=ED．
∵A（1，0），B（0，3），
∴AE=BO=3，ED=OA=1，
∴D（4，1）．
∵A（1，0），B（0，3），且四邊形ABCD為正方形，
∴C（0+4-1，1+3-0），即（3，4）．
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象上，
∴1=$\frac{k}{4}$，k=4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{4}{x}$．
設(shè)平移后點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3-a，4），
∵平移后的點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象上，
∴4=$\frac{4}{3-a}$，解得：a=2，
經(jīng)檢驗(yàn)a=2是方程4=$\frac{4}{3-a}$的解．
∴將正方形沿x軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長度后，點(diǎn)C恰好落在反比例函數(shù)的圖象上．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是求出反比例函數(shù)解析式以及點(diǎn)C的坐標(biāo)．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出方程是關(guān)鍵．