Question

如圖，D是Rt△ABC的直角邊BC上的點，以BD為直徑的⊙O交斜邊AB于E，EC交⊙O于點F，BF的延長線交AC于點G，求證：FG•AC=FC•AE．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：證明題

分析：利用條件可得出∠CGF=∠CEA，可證明△CGF∽△CEA，利用相似三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．

解答：證明：連接DE，
∵BD為直徑，
∴∠DEA=90°，
∴∠AEC=90°-∠DEC，且∠DEC=∠GBC，
∴∠AEC=90°-∠GBC，
∵∠ACB=90°，
∴∠BGC=90°-∠GBC，
∴∠CGF=CEA，且∠GCF=∠ECA，
∴△CGF∽△CEA，
∴

FC

AC

=

FG

AE

，
∴FG•AC=FC•AE．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握同弧所對的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．化線段乘積為線段比例是解決這類問題的常用思路．