Question

11．對于拋物線C：y=$\frac{1}{4m}$x²（m≠0，m為常數(shù)），存在點(diǎn)F（0，m）和直線y=-m，使拋物線C上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)F和到直線y=-m的距離相等，我們把F叫做拋物線C的焦點(diǎn)，直線y=-m叫做拋物線C的準(zhǔn)線．
（1）如圖1，拋物線C：y=$\frac{1}{4}$x²的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，請直接寫出F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的解析式；
（2）在圖1中，拋物線C的準(zhǔn)線交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A是拋物線C上任意一點(diǎn)，過A作AB⊥l于點(diǎn)B，連接FB交x軸于點(diǎn)E，連接CE．求證：CE²=FO•AB；
（3）如圖2，將拋物線y=$\frac{1}{8}$x²沿x軸向右平移1個單位后，得到拋物線C₁，此時拋物線C₁的焦點(diǎn)為F₁，準(zhǔn)線為l₁，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（5，5），點(diǎn)M是拋物線C₁上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MK⊥l₁于點(diǎn)K，連接MN，求|MN-MK|的最大值，并求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)F（0，b），A（t，$\frac{1}{4}$t²），則直線l的解析式為y=-b，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，由AB=AF得到t²+（$\frac{1}{4}$t²-b）²=（$\frac{1}{4}$t²+b）²，解得b=1，于是得到點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1），準(zhǔn)線l的解析式為y=-1；
（2）如圖1，連結(jié)AF、AE，利用OF=OC可得CE=EF=EB，再由AF=AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AE⊥BF，于是可證明Rt△ABE∽Rt△EFO，所以$\frac{AB}{EF}$=$\frac{BE}{OF}$，然后利用等線段代換即可得到結(jié)論；
（3）如圖2，利用拋物線的平移變換得到拋物線C₁的解析式為y=$\frac{1}{8}$（x-1）²，拋物線的對稱軸為直線x=1，設(shè)F₁（1，n），A[m，$\frac{1}{8}$（m-1）²]，則l₂的解析式為y=-n，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式由MK=MF₁得到（m-1）²+[$\frac{1}{8}$（m-1）²-n]²=[$\frac{1}{8}$（m-1）²+n]²，解得n=2，則F₁（1，2），接著利用待定系數(shù)法求出直線F₁N的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{4}$，由于|MN-MK|=|MN-MF₁|，而當(dāng)M、N、F₁共線時，|MN-MK|最大，即M點(diǎn)為直線F1N與拋物線的交點(diǎn)式，|MN-MK|有最大值，然后通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}}\\{y=\frac{1}{8}（x-1）^{2}}\end{array}\right.$即可得到M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)F（0，b），A（t，$\frac{1}{4}$t²），則直線l的解析式為y=-b，
所以AB=$\frac{1}{4}$t²+b，
∵AB=AF，
∴t²+（$\frac{1}{4}$t²-b）²=（$\frac{1}{4}$t²+b）²，解得b=1，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1），準(zhǔn)線l的解析式為y=-1；
（2）如圖1，連結(jié)AF、AE，
∵OF=OC，
∴EF=EB，
∴CE=EF=EB，
而AF=AB，
∴AE⊥BF，
∴∠AEB=90°，
∵∠ABE=∠OFE，
∴Rt△ABE∽Rt△EFO，
∴$\frac{AB}{EF}$=$\frac{BE}{OF}$，即EF•BE=OF•AB，
∴CE²=OF•AB；
（3）如圖2，拋物線C₁的解析式為y=$\frac{1}{8}$（x-1）²，拋物線的對稱軸為直線x=1，
設(shè)F₁（1，n），A[m，$\frac{1}{8}$（m-1）²]，則l₂的解析式為y=-n，
∴MK=$\frac{1}{8}$（m-1）²+n，
∴MK=MF₁，
∴（m-1）²+[$\frac{1}{8}$（m-1）²-n]²=[$\frac{1}{8}$（m-1）²+n]²，解得n=2，
∴F₁（1，2），
設(shè)直線F₁N的解析式為y=px+q，
把F₁（1，2），N（5，5）代入得$\left\{\begin{array}{l}{p+q=2}\\{5p+q=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{3}{4}}\\{q=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線F₁N的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{4}$，
∴|MN-MK|=|MN-MF₁|，
∴當(dāng)M、N、F₁共線時，|MN-MK|最大，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}}\\{y=\frac{1}{8}（x-1）^{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=9}\\{y=8}\end{array}\right.$，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，$\frac{1}{2}$）或（9，8）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)；能利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和求拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式；會運(yùn)用相似比證明線段之間的關(guān)系；提高閱讀理解能力．