Question

6．已知如圖，△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)F是BC上任意一點(diǎn)，DF⊥AB，EF⊥AC
（1）當(dāng)點(diǎn)F是BC中點(diǎn)時(shí)，DF=EF；（填“＜”“＞”“=”）
（2）求證：△BDF∽△CEF；
（3）若a=4，設(shè)BF=m，四邊形ADFE面積為S，求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出S隨m的變化情況．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可知AF是∠BAC的角平分線(xiàn)，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可知DF=EF；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)可知∠B=∠C=60°，根據(jù)題意可知∠FDB=∠FEC=90°，故此：△BDF∽△CEF；
（3）根據(jù)四邊形ADFE面積為S的面積=△ABC的面積-△BFD的面積-△FCE的面積即可的出S與m的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：（1）∵△ABC為等邊三角形，點(diǎn)F是BC中點(diǎn)，
∴AF是∠BAC的平分線(xiàn)．
又∵DF⊥AB，EF⊥AC，
∴DF=FE．
故答案為：=．
（2）∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵DF⊥AB，EF⊥AC，
∴∠FDB=∠FEC=90°．
∴△BDF∽△CEF．
（3）∵a=4，BF=m，
∴FC=4-m．
∴DB=$\frac{1}{2}m$，DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}m$，EC=$\frac{1}{2}×（4-m）$，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}（4-m）$．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}×4$=4$\sqrt{3}$，${S}_{△BDF}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}m×\frac{\sqrt{3}}{2}m$，${S}_{△EFC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×（4-m）×\frac{\sqrt{3}}{2}×（4-m）$．
∴四邊形ADFE的面積=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}{m}^{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}（4-m）^{2}$=$-\frac{\sqrt{3}}{4}{m}^{2}+\sqrt{3}m-2\sqrt{3}$=$-\frac{\sqrt{3}}{4}（m-2）^{2}+3\sqrt{3}$．
當(dāng)0＜m＜2時(shí)，S隨m的增大而增大，當(dāng)2＜m＜4時(shí)，S隨m的增大而減�。�

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是等邊三角形的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，列出S與m的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．