Question

2．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l與拋物線交于點(diǎn)C，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線AC的解析式；
（3）在（1）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)D，使△BCD的周長最小？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）將A、C坐標(biāo)代入即可；
（2）根據(jù)A、C坐標(biāo)用待定系數(shù)法求之即可；
（3）由于BC長度不變，要周長最小，就是讓DB+DC最小，而A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，所以AC就是DB+DC的最小值，此時(shí)D點(diǎn)就是AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)．

解答 解：（1）∵y=ax²+bx+3經(jīng)過A（1，0），C（4，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+3=0}\\{16a+4b+3=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=x²-4x+3；
（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+h，
將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+h得：$\left\{\begin{array}{l}{k+h=0}\\{4k+h=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{h=-1}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=x-1；
（3）∵y=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
∴B（3，0），拋物線的對(duì)稱軸為x=2；
∵BC長度不變，
∴BD+DC最小時(shí)，△BCD的周長最小，
∵A、B是關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的，
∴當(dāng)D點(diǎn)為對(duì)稱軸與AC的交點(diǎn)時(shí)，BD+DC最小，即△BCD的周長最小，如圖，

∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴D（2，1），
即：當(dāng)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1）時(shí)，△BCD的周長最小．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)解析式、對(duì)稱法求兩線段之和的最小值，難度不大，是基礎(chǔ)題．清楚A、B兩點(diǎn)的對(duì)稱性是解答第三問的關(guān)鍵．