Question

6．如圖，△ABC中，D為AC上一點，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E為垂足，連接AE．
求證：（1）DE=DA；
     （2）CE²=AD•AC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形30度角性質(zhì)得到DE=$\frac{1}{2}$CD，根據(jù)已知條件AD=$\frac{1}{2}$DC，由此不難證明．
（2）先證明∠ECA=∠EAC=∠AED=30°，再證明△DEA∽△ECA即可．

解答 證明：（1）∵CE⊥BD，∠BDC=60°
∴∠ECD=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD，又∵CD=2DA，即DA=$\frac{1}{2}$CD，
∴ED=DA．
（2）∵∠EDC=60°=∠DEA+∠DAE，
∵DE=DA，
∴∠DEA=∠DAE=30°，
∵∠ECD=30°，
∴∠ECA=∠EAC=∠AED=30°，
∴EC=EA，
∵∠EAD=∠CAE，∠AED=∠ACE
∴△DEA∽△ECA，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AD}{AE}$，
∴AE²=AD•AC，∴EA=EC，
∴EC²=AD•AC．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)、等腰三角形得到和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形性質(zhì)解決問題，屬于中考�？碱}型．