Question

1．如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8．動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)分別從點(diǎn)A，B出發(fā)，分別沿著射線AD和射線BD的方向均以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，連接EF，以EF為直徑作⊙O交射線BD于點(diǎn)M，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．
（1）BD=10，cos∠ADB=$\frac{4}{5}$（直接寫出答案）
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，用關(guān)于t的代數(shù)式表示DE，DM．
（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，
①連結(jié)CM，當(dāng)t為何值時(shí)，△CDM為等腰三角形．
②圓心O處在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求t的取值范圍（直接寫出答案）．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABD中，依據(jù)勾股定理可求得BD的長(zhǎng)，然后依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可知：cos∠ADB=$\frac{AD}{BD}$故此可求得問(wèn)題的答案；
（2）連接ME．由ED=AD-AE可求得DE的長(zhǎng)，依據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90°可得到∠EMF=90°，于是可求得∠EMD=90°，然后依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可知MD=ED•cos∠MDE，故此可得到問(wèn)題的答案；
（3）①可分為點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上畫出圖形，然后再依據(jù)MC=MD，CM=CD、DM=DC三種情況求解即可；②當(dāng)t=0時(shí)，圓心O在AB邊上．當(dāng)圓心O在CD邊上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EH∥CD交BD的延長(zhǎng)線與點(diǎn)H．先求得DH的長(zhǎng)，然后依據(jù)平行線分線段成比例定理可得到DF=DH，然后依據(jù)DF=DH列出關(guān)于t的方程，從而可求得t的值，故此可得到t的取值范圍．

解答 解：（1）∵ABCD為矩形，
∴∠BAD=90°．
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=10．
cos∠ADB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$．
故答案為：10；$\frac{4}{5}$．
（2）如圖1所示：連接ME．

∵AE=t，AD=8，
∴ED=AD-AE=8-t．
∵EF為⊙O的直徑，
∴∠EMF=90°．
∴∠EMD=90°．
∴MD=ED•cos∠MDE=$\frac{4（8-t）}{5}$．
（3）①如圖2所示：連接MC．

當(dāng)DM=CD=6時(shí)，$\frac{4（8-t）}{5}$=6，解得t=$\frac{1}{2}$；
如圖3所示：當(dāng)MC=MD時(shí)，連接MC，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥CD，垂足為N．

∵M(jìn)C=MD，MN⊥CD，
∴DN=NC．
∵M(jìn)N⊥CD，BC⊥CD，
∴BC∥MN．
∴M為BD的中點(diǎn)．
∴MD=5，即$\frac{4（8-t）}{5}$=5，解得t=$\frac{7}{4}$；
如圖4所示：CM=CD時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥DM．

∵CM=CD，CG⊥MD，
∴GD=$\frac{1}{2}$MD=$\frac{2（8-t）}{5}$．
∵$\frac{DG}{CD}=\frac{CD}{BD}$=$\frac{3}{5}$，
∴DG=$\frac{3}{5}$CD=$\frac{18}{5}$．
∴$\frac{2（8-t）}{5}$=$\frac{18}{5}$．
解得：t=-1（舍去）．
如圖5所示：當(dāng)CD=DM時(shí)，連接EM．

∵AE=t，AD=8，
∴DE=t-8．
∵EF為⊙O的直徑，
∴EM⊥DM．
∴DM=ED•cos∠EDM=$\frac{4（t-8）}{5}$．
∴$\frac{4（t-8）}{5}$=6，解得：t=$\frac{31}{2}$．
綜上所述，當(dāng)t=$\frac{1}{2}$或t=$\frac{7}{4}$或t=$\frac{31}{2}$時(shí)，△DCM為等腰三角形．
②當(dāng)t=0時(shí)，圓心O在AB邊上．
如圖6所示：當(dāng)圓心O在CD邊上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EH∥CD交BD的延長(zhǎng)線與點(diǎn)H．

∵HE∥CD，OF=OE，
∴DF=DH．
∵DH=$\frac{DE}{soc∠EDH}$=$\frac{5（t-8）}{4}$，DF=10-t，
∴$\frac{5（t-8）}{4}$=10-t．
解得：t=$\frac{80}{9}$．
綜上所述，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中圓心O處在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）時(shí)，t的取值范圍為0≤t≤$\frac{80}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了圓周角定理的推理、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義、等腰三角形的定義，分類討論思想的應(yīng)用以及根據(jù)題意畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．