Question

4．給出如下兩個方程，方程ax²-x-1=0①；方程a（ax²-1）²-x-1=0②；
（1）證明方程①的實根都是方程②的實根；
（2）如果方程①和②的實根相同，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論：當a=0，它們的解都為1；當a≠0時，若方程①有實數(shù)解，由①得ax²-1=x，把ax²-1=x代入②得ax²-x-1=0，于是得到它們的解一樣，然后綜合兩種情況即可；
（2）根據(jù)判別式的意義得到a≥-$\frac{1}{4}$．

解答 解：（1）當a=0，方程①變形為-x-1=0，解得x=-1；
方程②變形為-x-1=0，解得x=-1，它們的解相同；
由①得ax²-1=x，把ax²-1=x代入②得ax²-x-1=0，它們有相同的解，
∴方程①的實根都是方程②的實根；

（2）由（1）得：方程①的實根都是方程②的實根，
則△=1+4a≥0，解得a≥-$\frac{1}{4}$，
所以a的取值范圍為a≥-$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．