Question

如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸分別交于A、B兩點，與x軸的正半軸交于C點，拋物線的頂點為D，連接BC、BD，拋物線上是否存在一點P，使得∠PCB=∠CBD？若存在，求出P點坐標．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：根據(jù)題意得出A，B，C的坐標，進而得出△BCD是直角三角形，再過B點作BE垂直于BC，連接EC，且BE=

2

，求出△ECB≌△DBC（SAS），進而得出EC直線解析式，即可得出P點坐標．

解答：解：連接DC，
當y=0則0=-x²+2x+3，
解得：x₁=-1，x₂=3，
當x=0，則y=3，
故A（-1 0），B（3 0），C（0 3），
y=-x²+2x+3
=-（x-1）²+4，
故D（1 4），
因此BC=

32+32

=

18

=3

2

，
BD=

42+22

=2

5

，CD=

12+12

=

2

，
故CD²+BD²=BC²，
因此滿足△BCD是直角三角形且∠BCD=90°，
過B點作BE垂直于BC，連接EC，且BE=

2

，
∵CO=OB=3，
∴∠OCB=∠CBO=45°，
故∠EBx=45°，
則E（4 1），
在△ECB和△DBC中，

BE=CD ∠DCB=∠CBE BE=CB

，
∴△ECB≌△DBC（SAS），
此時CE與拋物線的交點就是滿足條件的點P，
設(shè)直線EC的解析式為：y=kx+b，
則

b=3 4k+b=1

，
解得：

k=-0.5 b=3

．
則EC直線解析式為：y=-0.5x+3，
故-0.5x+3=-x²+2x+3，
解得：x₁=0（不合題意舍去），x₂=2.5，
則y=1.75，
故P點坐標為：（2.5 1.75）．

點評：此題主要考查了拋物線與坐標軸的交點以及全等三角形的判定與性質(zhì)和拋物線與一次函數(shù)的交點求法等知識，求出EC解析式是解題關(guān)鍵．