Question

已知AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，AB=6，

BE

OE

=

1

2

．
（1）當∠AEC=90°時，求CD的長；    
（2）當∠AEC=30°時，求CD的長．

Answer 1

考點：垂徑定理

專題：

分析：（1）連接OC．根據(jù)AB=6，

BE

OE

=

1

2

，求得OE的長，根據(jù)勾股定理求得CE的長，再根據(jù)垂徑定理即可求得CD的長．
（2）利用垂徑定理和勾股定理和相交弦求解．

解答：解：（1）如圖1，連接OC．
∵AB=6，
∴OC=OB=3，
∵

BE

OE

=

1

2

．
∴OE=2，
在直角三角形OEC中，根據(jù)勾股定理，得
CE=

5

．
∵AB⊥CD于E，
∴CD=2CE=2

5

．
（2）如圖2，過O作OP⊥CD于E，
∵AB=6，

BE

OE

=

1

2

，
∴BE=1，OE=2，AE=5，
∵∠AEC=30°，
∴在Rt△POE中，OE=2，
∴PE=OPcos30°=2×

3

2

=

3

設(shè)CE=x，利用相交弦定理可得：1×5=（x-

3

）（x+

3

）
解得x=2

2

，
所以CD=4

2

．

點評：本題的關(guān)鍵是利用垂徑定理和勾股定理和相交弦定理求線段的長．