Question

我們知道sin30°=

1

2

，tan30°=

3

3

，sin45°=

2

2

，tan45°=1，sin60°=

3

2

，tan60°=

3

，由此可以得到什么規(guī)律，對于任意銳角α，規(guī)律成立嗎？你能否用銳角三角函數(shù)的定義加以證明？

Answer 1

考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義,特殊角的三角函數(shù)值

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)已知條件可以得出sin²30°+sin²60°=sin²45°+sin²45°=1，tan30°•tan60°=tan45°•tan45°=1，由此得到規(guī)律：對于任意銳角α，sin²α+sin²（90°-α）=1，tanα•tan（90°-α）=1，利用銳角三角函數(shù)的定義證明即可．

解答：解：∵sin30°=

1

2

，tan30°=

3

3

，sin45°=

2

2

，tan45°=1，sin60°=

3

2

，tan60°=

3

，
∴sin²30°+sin²60°=sin²45°+sin²45°=1，tan30°•tan60°=tan45°•tan45°=1，
由此得到規(guī)律：對于任意銳角α，sin²α+sin²（90°-α）=1，tanα•tan（90°-α）=1．理由如下：
如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，設(shè)∠A=α，則∠B=90°-α．
由勾股定理，得a²+b²=c²，
∵sinA=

a

c

，sinB=

b

c

，tanA=

a

b

，tanB=

b

a

，
∴sin²α+sin²（90°-α）=sin²A+sin²B=（

a

c

）²+（

b

c

）²=

a2+b2

c2

=

c2

c2

=1，
tanα•tan（90°-α）=tanA•tanB=

a

b

×

b

a

=1．

點(diǎn)評：本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．
即sinA=∠A的對邊：斜邊=a：c．
（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．
即cosA=∠A的鄰邊：斜邊=b：c．
（3）正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．
即tanA=∠A的對邊：∠A的鄰邊=a：b．
（4）三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．