Question

15．閱讀材料，求值：1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵．
解：設(shè)S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵，將等式兩邊同時乘以2得：
    2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶
    將下式減去上式得2S-S=2²⁰¹⁶-1
    即S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵=2²⁰¹⁶-1
請你仿照此法計算：
（1）1+2+2²+2³+…+2¹⁰
（2）1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ（其中n為正整數(shù)）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目中材料可以得到用類比的方法得到1+2+2²+2³+…+2¹⁰的值；
（2）根據(jù)題目中材料可以得到用類比的方法得到1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ的值．

解答 解：（1）設(shè)S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，
將等式兩邊同時乘以2，得
2S=2+2²+2³+2⁴+…+2¹¹
將下式減去上式，得
2S-S=2¹¹-1
即S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰=2¹¹-1；
（2）設(shè)S=1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ，
將等式兩邊同時乘以3，得
3S=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹，
將下式減去上式，得
3S-S=3ⁿ⁺¹-1
即2S=3ⁿ⁺¹-1
得S=1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ=$\frac{{3}^{n+1}-1}{2}$．

點評 本題考查有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是明確題意，運用題目中的解題方法，運用類比的數(shù)學(xué)思想解答問題．