Question

14．在△ABC中，∠C=60°，D在AB的上方，∠ADB=90°，∠ABD=60°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AC=6，DE=7，線段BD的長度為$\sqrt{19}$．

Answer 1

分析 如圖，延長CB到M，使得∠DMC=60°，延長CA、MD交于點(diǎn)N，取AB中點(diǎn)F，連接EF、DF．首先說明△CMN，△DBF是等邊三角形，再證明△EFB≌△MBD，得BM=EF=3，EB=DM，設(shè)EB=DM=a，在Rt△DEH中，利用勾股定理求出a，再在Rt△BDH中利用勾股定理即可解決問題．

解答 解：如圖，延長CB到M，使得∠DMC=60°，延長CA、MD交于點(diǎn)N，取AB中點(diǎn)F，連接EF、DF．

在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，∠ABD=60°，AF=BF，
∴DF=AF=BF，△BFD是等邊三角形，
∴BD=BF，
∵CE=EB，AF=BF，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC=3，
∴∠FEB=∠C=60°=∠M，∠FEB=∠C=60°，
∵∠DBM+60°+∠ABC=180°，∠ABC+∠EFB+60°=180°，
∴∠EFB=∠DBM，
在△EFB和△MBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFE=∠DBM}\\{∠FEB=∠M}\\{BF=BD}\end{array}\right.$，
∴△EFB≌△MBD，
∴BM=EF=3，EB=DM，設(shè)EB=DM=a，
在Rt△EDH中，∵∠DHE=90°，DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，EH=3+a-$\frac{1}{2}$a=3+$\frac{1}{2}$a，DE=7，
∴7²=（3+$\frac{1}{2}$a）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）²，
解得a=5或-8（舍棄）
∴DH=$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$，BH=3-$\frac{5}{2}$=$\frac{1}{2}$，
在Rt△DBH中，DB=$\sqrt{D{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}\sqrt{3}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{19}$．
故答案為$\sqrt{19}$．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造等邊三角形以及全等三角形解決問題，題目比較難，屬于競賽題目．