Question

已知線段OP=1，取OP的中點(diǎn)P₁，取PP₁的中點(diǎn)P₂．
（1）比較線段OP_n與OP_n-1的大�。╪為大于1的整數(shù)）．
（2）若OP=1m，則n從何值開(kāi)始，線段P_n-1P_n＜1mm．

Answer 1

考點(diǎn)：比較線段的長(zhǎng)短

專題：

分析：（1）利用已知線段長(zhǎng)度結(jié)合圖象進(jìn)而分析比較線段長(zhǎng)度即可；
（2）利用有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則進(jìn)而得出n的值．

解答：解：（1）∵線段OP=1，取OP的中點(diǎn)P₁，取PP₁的中點(diǎn)P₂，
∴OP₁=

1

2

，P₁P₂=

1

4

，P₂P₃=

1

8

，P₃P₄=

1

16

，
如圖所示：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，OP_n＞OP_n-1，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，OP_n＜OP_n-1；

（2）∵OP=1，則OP₁=

1

2

，P₁P₂=

1

4

=（

1

2

）²，P₂P₃=

1

8

=（

1

2

）³，P₃P₄=

1

16

=（

1

2

）⁴，
∴P_n-1P_n=（

1

2

）ⁿ，
∵OP=1m=1000mm，
∵1000×（

1

2

）ⁿ＜1，
當(dāng)n=10，（

1

2

）ⁿ=

1

1024

，
故n≥10時(shí)，線段P_n-1P_n＜1mm．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了比較線段長(zhǎng)度，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．