Question

如圖，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，圓心O在AD上，OC∥AB．
（1）試證明：DC=BC；
（2）已知AC=12，AD：BC=3：1，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,平行線的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）由OC∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得∠OCA=∠CAB，又由OA=OC，根據(jù)等邊對(duì)等角，即可得∠OAC=∠OCA，則可證得AC平分∠DAB；最后由圓周角、弧、弦間的關(guān)系證得結(jié)論；
（2）由圓心O在AD上，可知AD是直徑，根據(jù)圓周角定理，即可得∠ACD=90°，然后利用勾股定理即可求得答案．

解答：（1）證明：∵OC∥AB，
∴∠OCA=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠CAB，即AC平分∠DAB，
∴

DC

=

BC

，
∴DC=BC；

（2）解：由（1）知 DC=BC．
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°，
∵AC=12，AD：BC=3：1，
∴在Rt△ACD中，AD=

AC2+CD2

，則AD=

122+ 1 9 AD2

，
解得 AD=9

2

．
則⊙O的半徑是

1

2

AD=

9 2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理．此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角定理的應(yīng)用．