Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，內(nèi)切圓⊙I切AC、BC于E、F，射線BI、AI交直線EF于點M、N，設(shè)S_△AIB=S₁，S_△MIN=S₂，則$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)∠C=90°，它的內(nèi)切圓⊙I分別與邊AC、BC相切于點E、F，于是得到△CEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CEF=∠CFE=45°，由對頂角的性質(zhì)得到∠NFB=∠CFE=45°，∠MEA=∠CEF=45°，根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠NIB=∠AIM=∠IAB+∠IBA=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠CBA）=45°，于是得到∠M=∠CAN=∠IAB，∠N=∠CBM=∠IBA，推出△NIM∽△AIB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，通過整式的化簡即可得到結(jié)論．

解答 解：連接IE、IF、IG，IC與EF交于H，
設(shè)內(nèi)切圓⊙I的半徑為r，
∵∠C=90°，它的內(nèi)切圓⊙I分別與邊AC、BC相切于點E、F，
∴四邊形CEIF是正方形，HI=$\frac{1}{2}$IC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=∠CFE=45°，
∴∠NFB=∠CFE=45°，∠MEA=∠CEF=45°，
∴∠NIB=∠AIM=∠IAB+∠IBA=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠CBA）=45°，
∴∠M=∠CAN=∠IAB，∠N=∠CBM=∠IBA，
∴△NIM∽△BIA，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{IG}{IH}$）²=（$\frac{r}{\frac{\sqrt{2}}{2}r}$）²=2，
故選：B．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．