Question

14．如圖①，D是等邊△ABC邊BA上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)B不重舍），連接DC，以DC為邊在BC上方作等邊△DCF．連接AF，你能發(fā)現(xiàn)線段AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明你發(fā)觀的結(jié)論．
如圖②，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至等邊△ABC邊BA的延長線上時(shí)，其他作法與（1）相同．猜想AF與BD在（1）中的結(jié)論是否仍然成立？

Answer 1

分析 圖①，首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC，∠ACB=60°，DC=CF，∠DCF=60°，再根據(jù)等式的性質(zhì)可得∠DCB=∠ACF，然后證明△BCD≌△FCA可得AF=BD；圖②證法與①類似．

解答 解：圖①中：AF=BD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵△DCF是等邊三角形，
∴DC=CF，∠DCF=60°，
∴∠ACB-∠DCA=∠DCF-∠DCA，
即∠DCB=∠ACF，
在△BDC和△AFC中$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠BCD=∠ACF}\\{DC=FC}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△FCA（SAS），
∴AF=BD；

圖②中：AF=BD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵△DCF是等邊三角形，
∴DC=CF，∠DCF=60°，
∴∠ACB+∠DCA=∠DCF+∠DCA，
即∠DCB=∠ACF，
在△BDC和△AFC中$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠BCD=∠ACF}\\{DC=FC}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△FCA（SAS），
∴AF=BD．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．