Question

4．在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，P是坐標系內任意一點，點P到⊙O的距離S_P的定義如下：若點P與圓心O重合，則S_P為⊙O的半徑長；若點P與圓心O不重合，作射線OP交⊙O于點A，則S_P為線段AP的長度．
圖1為點P在⊙O外的情形示意圖．

（1）若點B（1，0），C（1，1），$D（{0，\frac{1}{3}}）$，則S_B=0；S_C=$\sqrt{2}$-1；S_D=$\frac{2}{3}$；
（2）若直線y=x+b上存在點M，使得S_M=2，求b的取值范圍；
（3）已知點P，Q在x軸上，R為線段PQ上任意一點．若線段PQ上存在一點T，滿足T在⊙O內且S_T≥S_R，直接寫出滿足條件的線段PQ長度的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點的坐標和新定義解答即可；
（2）根據(jù)直線y=x+b的特點，結合S_M=2，根據(jù)等腰直角三角形的性質解答；
（3）根據(jù)T在⊙O內，確定S_T的范圍，根據(jù)給出的條件、結合圖形求出滿足條件的線段PQ長度的最大值．

解答 解：（1）∵點B（1，0），
∴S_B=0，
∵C（1，1），
∴S_C=$\sqrt{2}$-1，
∵$D（{0，\frac{1}{3}}）$，
∴S_D=$\frac{2}{3}$，
故答案為：0；$\sqrt{2}$-1；$\frac{2}{3}$；
（2）設直線y=x+b與分別與x軸、y軸交于F、E，
作OG⊥EF于G，
∵∠FEO=45°，
∴OG=GE，
當OG=3時，GE=3，
由勾股定理得，OE=3$\sqrt{2}$，
此時直線的解析式為：y=x+3$\sqrt{2}$，
∴直線y=x+b上存在點M，使得S_M=2，b的取值范圍是-3$\sqrt{2}$≤b≤3$\sqrt{2}$；
（3）∵T在⊙O內，
∴S_T≤1，
∵S_T≥S_R，
∴S_R≤1，
∴線段PQ長度的最大值為1+2+1=4．

點評 本題考查的是等腰直角三角形的性質、新定義、點與圓的位置關系，正確理解點P到⊙O的距離S_P的定義、靈活運用數(shù)形結合思想是解題的關鍵．