Question

1．如圖，在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），拋物線y=-x²+2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A．
（1）求c的值，并寫(xiě)出拋物線解析式；
（2）將△AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′OC′．
①求點(diǎn)C′的坐標(biāo)，并通過(guò)計(jì)算判斷點(diǎn)C′是否在拋物線上；
②若將拋物線向下平移m個(gè)單位，使平移后得到的拋物線頂點(diǎn)落在△A′OC′的內(nèi)部（不包括△A′OC′的邊界），求m的取值范圍（直接寫(xiě)出答案即可）．

Answer 1

分析 （1）直接將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式進(jìn)而得出答案；
（2）①首先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出答案；
②首先得出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線A′C′的解析式，進(jìn)而利用直線上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出m的取值范圍．

解答 解：（1）把C（0，3）代入y=-x²+2x+c，
解得：c=3，
故拋物線解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）①∵OC=3，∴OC′=3，
∴C′坐標(biāo)為（3，0），
當(dāng)x=3時(shí)，y=-x²+2x+3=0，
∴點(diǎn)C′在拋物線上；

②如圖：∵y=-x²+2x+3
=-（x²-2x）+3
=-（x-1）²+4，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，4），
∵C′坐標(biāo)為（3，0），對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，0），
∴A′點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，1），
設(shè)直線A′C′的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
故直線A′C′的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x+1，
∵將拋物線向下平移m個(gè)單位，使平移后得到的拋物線頂點(diǎn)落在△A′OC′的內(nèi)部（不包括△A′OC′的邊界），
∴當(dāng)x=1時(shí)，拋物線平移到E點(diǎn)，y=-$\frac{1}{3}$x+1=$\frac{2}{3}$，則m=4-$\frac{2}{3}$=3$\frac{1}{3}$，
∴m的取值范圍為：3$\frac{1}{3}$＜m＜4．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)以及待定系數(shù)求一次函數(shù)解析式以及配方法求二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和平移的性質(zhì)等知識(shí)，求出直線A′C′的解析式是解題關(guān)鍵．