Question

8．如圖，直線y=4-x與兩坐標(biāo)軸分別相交于A、B點，點M是線段AB上任意一點（A、B兩點除外），過M分別作MC⊥OA于點C，MD⊥OB于點D．

（1）當(dāng)點M在AB上運動時，則四邊形OCMD的周長=8．
（2）當(dāng)四邊形OCMD為正方形時，將正方形OCMD沿著x軸的正方向移動，設(shè)平移的距離為a（0＜a≤4），在平移過程中，當(dāng)平移距離a為多少時，正方形OCMD的面積被直線AB分成1：3兩個部分？

Answer 1

分析 （1）設(shè)OC=x，則CM=4-x．然后依據(jù)由三個角是直角的四邊形是矩形，可證明四邊形OCMD為矩形，則OCMN的周長=2（CO+CM）；
（2）當(dāng)四邊形為OCMD為正方形時，先求得正方形的邊長，從而可求得正方形的面積，可求得正方形被直線分成的較小的部分的面積為1，然后再證明“較小的部分”為等腰直角三角形，從而可求得該等腰直角三角形的直角邊的長度，于是可求得平移的距離．

解答 解：（1）設(shè)OC=x，則CM=4-x．
∵MC⊥OA，MD⊥OB，OD⊥OC，
∴四邊形OCMD為矩形，
∴四邊形OCMD的周長=OD+OC+CM+DM=2（CO+CM）=2（x+4-x）=2×4=8．
故答案為：8．
（2）∵當(dāng)四邊形為OCMD為正方形時，OC=CM，即x=4-x，解得：x=2，
∴S_{正方形OCMD的面積}=4．
∵正方形OCMD的面積被直線AB分成1：3兩個部分，
∴兩部分的面積分別為1和3．
當(dāng)0＜a≤2時，如圖1所示：

∵直線AB的解析式為y=4-x，
∴∠BAO=45°．
∴△MM′E為等腰直角三角形．
∴MM′=M′E．
∴$\frac{1}{2}$MM′²=1．
∴MM′=$\sqrt{2}$，即a=$\sqrt{2}$
當(dāng)2＜a＜4時，如圖2所示：

∵∠BAO=45°，
∴△EO′A為等腰直角三角形．
∴EO′=O′A．
∴$\frac{1}{2}$O′A²=1，解得：O′A=$\sqrt{2}$．
∵將y=0代入y=4-x得；4-x=0，解得；x=4，
∴OA=4．
∴OO′=4-$\sqrt{2}$，即a=4-$\sqrt{2}$．
綜上所述，當(dāng)平移的距離為a=$\sqrt{2}$或a=4$-\sqrt{2}$時，正方形OCMD的面積被直線AB分成1：3兩個部分．

點評 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了一函數(shù)圖象的點的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系、矩形的性質(zhì)和判定、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，證得△MM′E、△EO′A是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．