Question

13．已知：如圖，PC切⊙O于點(diǎn)C，PA交⊙O于點(diǎn)A，B．
（1）求證：△PAC∽△PCB．
（2）若AB=2，AP=3，求切線PC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)弦切角定理得到∠PCA=∠B，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到PC²=PA•PB，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵PC切⊙O于點(diǎn)C，割線PAB交⊙O于點(diǎn)A、B，
∴∠PCA=∠B，
∵∠P是公共角，
∴△PAC∽△PCB；

（2）解：由（1）得△PAC∽△PCB，
∴PA：PC=PC：PB，
∴PC²=PA•PB，
∵PA=3，AB=2，
∴PB=PA+AB=5，
∴PC²=3×5=15，
解得：PC=$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)、弦切角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．