Question

3．如用，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列結(jié)論中：①AB=BF；②AE=ED；③AD=DC；④∠ABE=∠DFE；⑤$\frac{AB}{BD}$=$\frac{CF}{DF}$，正確的是（　�。�

• A． ①③
• B． ①⑤
• C． ③④
• D． ①②⑤

Answer 1

分析 根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠C=∠BAD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠C=∠BFE，等量代換得到∠BAD=∠BFE，由角平分線的定義得到∠ABE=∠FBE，推出△ABE≌△FBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB=BF；故①正確；由AB＞BD，BE平分∠ABD，得到AE≠DE；故②錯誤；由于∠C不一定等于∠DAC，得到AD不一定等于CD，故③錯誤；由于∠BAE=∠BFE，而∠ABE不一定等于∠BAE，于是得到∠ABE不一定等于∠DFE，故④錯誤；根據(jù)BE平分∠ABC，得到$\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{DE}$，由EF∥AC，得到$\frac{CF}{DF}=\frac{AE}{DE}$，等量代換得到$\frac{AB}{BD}$=$\frac{CF}{DF}$，故⑤正確．

解答 解：∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴∠C=∠BAD，
∵EF∥AC，
∴∠C=∠BFE，
∴∠BAD=∠BFE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
在△ABE和△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠BFE}\\{∠ABE=∠FBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FBE，
∴AB=BF；故①正確；
∵AD⊥BC，
∴AB＞BD，
∵BE平分∠ABD，
∴AE≠DE；故②錯誤；
∵∠C+∠CAD=90°，
而∠C不一定等于∠DAC，
∴AD不一定等于CD，故③錯誤；
∵∠BAE=∠BFE，
而∠ABE不一定等于∠BAE，
∴∠ABE不一定等于∠DFE，故④錯誤；
∵BE平分∠ABC，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{DE}$，
∵EF∥AC，
∴$\frac{CF}{DF}=\frac{AE}{DE}$，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{CF}{DF}$，故⑤正確．
故選B．

點評 本題考查了平行線分線段成比例定理，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形角平分線定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．