Question

11．如圖，BD是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，若∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE與BF相交于H，BF與AD的延長(zhǎng)線相交于G．求證：
（1）CD=BH；
（2）AB是AG和HE的比例中項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知利用AAS判定△BEH≌△DEC，從而得到BH=DC；
（2）根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得到△BEH∽△GBA，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例所以BH•AB=EH•AG，由于BH=DC=AB所以推出了AB²=GA•HE．

解答 證明：（1）∵在?ABCD中，DE⊥BC，∠DBC=45°，
∴∠DEC=∠BEH=90°，DE=BE，
∵∠EBH+∠BHE=90°，∠DHF+∠CDE=90°，
∴∠EBH=∠EDC，
在△BEH與△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBH=∠CDE}\\{BE=DE}\\{∠BEH=∠CED}\end{array}\right.$，
∴△BEH≌△DEC．
∴BH=DC；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AG∥BC，∠A=∠C=∠BHE，AB=CD，
∴∠G=∠HBE，
∴△BEH∽△GBA，
∴BH•AB=EH•AG，
∵BH=DC=AB，
∴AB²=GA•HE．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．