Question

20．如圖，直線l₁：y=-x+8與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，直線l₂：y=x與直線l₁交于點(diǎn)C，D為線段BC上一點(diǎn)，點(diǎn)D從B出發(fā)，以每秒$\sqrt{2}$個(gè)單位長度沿BC方向運(yùn)動(dòng)，到C點(diǎn)時(shí)停止．過D作直線DP垂直于x軸，交線段OC、x軸于點(diǎn)E，P，以DE為斜邊向左側(cè)等腰Rt△DEF，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）
（1）直接寫出答案：AB=11.3（精確到0.1），∠OAB45度；
（2）試求動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)，并計(jì)算DE的長度（用含t的代數(shù)式表示）；
（3）當(dāng)t=2時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)，并判斷：當(dāng)t=2時(shí)，在x軸上是否存在這樣的點(diǎn)M，使得M、A、F為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形；若存在，請(qǐng)求出M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）分別令y=-x+8中x=0、y=0求出與之對(duì)應(yīng)的y、x值，由此即可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出AB的長度，再利用特殊角的正切值即可得出∠OAB的度數(shù)；
（2）根據(jù)OA、AB之間的關(guān)系結(jié)合點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)速度即可找出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，由此即可找出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，再聯(lián)立直線l₁、l₂的解析式成方程組，解方程組即可得出交點(diǎn)C的坐標(biāo)，由此即可得出t的取值范圍，再結(jié)合點(diǎn)D、E的坐標(biāo)即可找出DE的長度；
（3）將t=2代入點(diǎn)D、E的坐標(biāo)中，利用等腰直角三角形的性質(zhì)找出點(diǎn)F的坐標(biāo)，假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），結(jié)合點(diǎn)A、F的坐標(biāo)即可得出AM、AF、FM的長度，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分FM=FA、AF=AM和MA=MF三種情況考慮，由兩邊相等即可得出關(guān)于m的方程，解方程即可求出m的值，將其代入點(diǎn)M的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令y=-x+8中x=0，則y=8，
∴B（0，8）；
令y=-x+8中y=0，則x=8，
∴A（8，0）．
∴AB=$\sqrt{（0-8）^{2}+（8-0）^{2}}$=8$\sqrt{2}$≈11.3，tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=1，
∴∠OAB=45°．
故答案為：11.3；45．
（2）∵$\frac{OA}{AB}=\frac{8}{8\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且點(diǎn)D從B出發(fā)，以每秒$\sqrt{2}$個(gè)單位長度沿BC方向運(yùn)動(dòng)，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，
∴D（t，8-t），E（t，t）．
聯(lián)立直線l₁、l₂的解析式，
得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+8}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴C（4，4），
∴0≤t≤4．
∴DE=8-t-t=8-2t（0≤t≤4）．
（3）當(dāng)t=2時(shí)，D（2，6），E（2，2），DE=4，
∵△DEF為以DE為斜邊向左側(cè)等腰直角三角形，
∴F（2-$\frac{4}{2}$，$\frac{6+2}{2}$），即（0，4）．
假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），
∵A（8，0），F(xiàn)（0，4），
∴AF=$\sqrt{（8-0）^{2}+（0-4）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，AM=|m-8|，F(xiàn)M=$\sqrt{（0-m）^{2}+（4-0）^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+16}$．
△MAF為等腰三角形分三種情況（如圖所示）：
①當(dāng)FM=FA時(shí)，有$\sqrt{{m}^{2}+16}$=4$\sqrt{5}$，
解得：m₁=-8，m₂=8（舍去），
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-8，0）；
②當(dāng)AF=AM時(shí)，有4$\sqrt{5}$=|m-8|，
解得：m₃=8+4$\sqrt{5}$，m₄=8-4$\sqrt{5}$，
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（8+4$\sqrt{5}$，0）或（8-4$\sqrt{5}$，0）；
③當(dāng)MA=MF時(shí)，有|m-8|=$\sqrt{{m}^{2}+16}$，
解得：m₅=3，
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）．
綜上所述：當(dāng)t=2時(shí)，在x軸上存在這樣的點(diǎn)M，使得M、A、F為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-8，0）、（8+4$\sqrt{5}$，0）、（8-4$\sqrt{5}$，0）或（3，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、特殊角的三角函數(shù)值、等腰直角三角形的性質(zhì)以及兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）求出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)；（3）分FM=FA、AF=AM和MA=MF三種情況考慮．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)找出方程是關(guān)鍵．