Question

3．如圖，等腰角直角△ABC的直角邊長為2，以它的斜邊上的高AD為腰作第一個等腰直角△ADE；再以所作的第一個等腰直角△ADE的斜邊上的高AF為腰作第二個等腰直角AFG…以此類推，這樣所作的第n個等腰直角三角形的面積為$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 通過直角三角形的性質(zhì)特點，斜邊上的高等于斜邊的一半，再分析規(guī)律，便能計算出答案了．

解答 解：∵等腰直角△ABC直角邊長為2，
∴斜邊長為=2$\sqrt{2}$．，
斜邊上的高也是斜邊上的中線，應(yīng)該等于斜邊的一半．
那么第一個等腰直角三角形的腰長為$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$；
∴第二個等腰直角三角形的斜邊長=$\sqrt{2×（\sqrt{2}）^{2}}$=2，
∴第二個等腰直角三角形的腰長=$\frac{1}{2}$×2=1，
那么第n個等腰直角三角形的腰長為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$^）n-1．
∴第n個等腰直角三角形的面積=$\frac{1}{2}$×[（$\frac{\sqrt{2}}{2}$^）n-1]²=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
故答案是：$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點評 此題考查了等腰直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到其他等腰直角三角形的表示規(guī)律．