Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，過(guò)點(diǎn)A作∠OAB=45°，在角的一邊上截取AB=3，過(guò)點(diǎn)B作BC∥x軸交y軸于點(diǎn)C，D在線段BC上，且BD=$\frac{1}{4}$OA=$\sqrt{2}$，E，F(xiàn)分別是線段OA，AB上的兩動(dòng)點(diǎn)，且始終保持∠DEF=45°．

（1）填空：點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）；
（2）設(shè)OE=x，AF=y，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)△AEF是等腰三角形時(shí)，將△AEF沿EF邊折疊，得到△A′EF，試求折疊后點(diǎn)A′的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出AG=BG，再由圖形特點(diǎn)求出CD即可；
（2）先由角平分線得出∠BAO=∠DOE=45°，判斷出△ODE∽△AEF，再求出OD，由比例式建立方程，即可；
（3）分三種情況進(jìn)行計(jì)算，分別先判斷出直角三角形，平行四邊形，菱形再由它們的特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖1，

作BM⊥OA，
在Rt△BAG中，∠BAG=45°，AB=3，
∴BG=AG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵BD=$\frac{1}{4}$OA=$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{2}$，OA=4$\sqrt{2}$，
∴CD=BC-BD=OA-AG-BD=4$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴D（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），
故答案為（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），
（2）連接OD，如圖2，

由（1）知，點(diǎn)D是∠AOC的平分線上，
∴∠DOE=∠COD=45°，
∵∠DEF=45°，∠ODE=∠AEF，
∵∠BAO=∠DOE=45°
∴△ODE∽△AEF，
∴$\frac{OE}{AF}=\frac{OD}{AE}$，
在Rt△OCD中，OC=CD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴OD=3，
∴$\frac{x}{y}=\frac{3}{4\sqrt{2}-x}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$x，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$x，
（3）當(dāng)△AEF為等腰三角形時(shí)，分三種情況，
①當(dāng)EF=AF時(shí)，如圖3，

∵∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°，
∴點(diǎn)D恰好在A′E上，（A′E⊥OA）
∴A′E=AE′=OA-OE=4$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∵OE=CD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴點(diǎn)A′（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{5\sqrt{2}}{2}$），
②當(dāng)EF=AE時(shí)，如圖4，

∴∠EFA=∠A=45°，
∴∠FEA=90°，
∴折疊后點(diǎn)A′在x軸上，
∵∠DEF=∠AFE=45°，
∴DE∥AB，
∵DB∥EA，
∴四邊形DEAB是平行四邊形，
∴AE=DB=$\sqrt{2}$，
∴A′E=AE=$\sqrt{2}$，
∴OA′=OA-AA′=4$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴A′（2$\sqrt{2}$，0），
③當(dāng)AF=AE時(shí)，如圖5，

∵四邊形AEA′F是菱形，
由（2）知，△ODE∽AEF，
∴OE=OD=3，
∴AE=AF=OA-OE=4$\sqrt{2}$-3，
過(guò)F作FH⊥AE，
∴FH=AFsin45°=（4$\sqrt{2}$-3）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
過(guò)A′作′⊥x軸，
∴ME=HA=FH=4-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴A′M=FH=4-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴A′M=OA-ME=4$\sqrt{2}$-2（4-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1，
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1，4-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），
綜合，點(diǎn)A′的坐標(biāo)為A′（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{5\sqrt{2}}{2}$），（2$\sqrt{2}$，0），（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1，4-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的確定方法，相似三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形，平行四邊形，菱形額性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是利用直角三角形，平行四邊形，菱形的性質(zhì)計(jì)算線段．