Question

15．如圖，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米．AD⊥BC于點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1厘米的速度在線段AD上向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求AD的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)△PDC的面積為15平方厘米時(shí)，求t的值；
（3）動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)以每秒2厘米的速度在射線CB上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)M與點(diǎn)P同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)M也停止運(yùn)動(dòng)．是否存在t，使得PM=AP+BM？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和勾股定理解答即可；
（2）根據(jù)直角三角形面積求出PD×DC×$\frac{1}{2}$=15即可求出t；
（3）根據(jù)題意列出PD、MD的表達(dá)式，由于M在D點(diǎn)左右兩側(cè)情況不同，所以進(jìn)行分段討論即可，注意約束條件．

解答 解：（1）如圖1，

∵AB=AC=13，AD⊥BC，
∴BD=CD=5cm，且∠ADB=90°，
∴AD²=AC²-CD²
∴AD=12cm．

（2）如圖2，

由題意可得：AP=t，PD=12-t，
又∵由△PDM面積為：$\frac{1}{2}$PD×DC=15，
解得：PD=6，
∴t=6．

（3）假設(shè)存在t，使得PM=AP+BM．
①若點(diǎn)M在線段CD上，如圖3，

即 0≤t≤$\frac{5}{2}$時(shí)，AP=t，PD=12-t，DM=5-2t，BM=10-2t
則PM=$\sqrt{P{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{（12-t）^{2}+（5-2t）^{2}}$，
故$\sqrt{（12-t）^{2}+（5-2t）^{2}}$=t+10-2t
整理得：4t²-24t+69=0，
△=b²-4ac=-528＜0，故此方程無(wú)解；
②如圖4，

若點(diǎn)M在線段DB上，即 $\frac{5}{2}$＜t≤5，
AP=t，PD=12-t，DM=2t-5，BM=10-2t，
則PM=$\sqrt{P{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{（12-t）^{2}+（2t-5）^{2}}$，
故$\sqrt{（12-t）^{2}+（2t-5）^{2}}$=t+10-2t
整理得：4t²-24t+69=0，
△=b²-4ac=-528＜0，故此方程無(wú)解；
③如圖5，

若點(diǎn)M在射線DB上，即 5＜t≤12，
AP=t，PD=12-t，DM=2t-5，BM=2t-10，
PM=$\sqrt{M{D}^{2}+P{D}^{2}}$=$\sqrt{（2t-5）^{2}+（12-t）^{2}}$，
則$\sqrt{（2t-5）^{2}+（12-t）^{2}}$=t+2t-10，
整理得：
4t²-24t-69=0
解得t₁=$\frac{6-\sqrt{105}}{2}$（舍去），t₂=$\frac{6+\sqrt{105}}{2}$，
故當(dāng)t=$\frac{6+\sqrt{105}}{2}$，使得PM=AP+BM．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了三角形綜合以及勾股定理等知識(shí)，此題關(guān)鍵為利用三角形性質(zhì)勾股定理以及分段討論，在解方程時(shí)，注意解是否符合約束條件．