Question

16．如圖，矩形ABCD中，AB=10，BC=7.5，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，把△ABE沿BE翻折至△FBE，EF與DC相交于點(diǎn)G且DG=FG，再把△FBE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°＜α＜90°）后得到△F′EB′，EF′的延長線交BF于點(diǎn)M，EB′交AB于點(diǎn)N，當(dāng)ME=MB時(shí)，AN的長度是$\frac{18}{5}$．

Answer 1

分析 如圖先證明DH=EF=AE，設(shè)AE=EF=DH=x，在RT△BCH中利用勾股定理求出x，再利用△EAN∽△BAE得$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AN}{AE}$即可解決問題．

解答 解：設(shè)AE=EF=x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=10，AD=BC=7.5，∠A=∠D=∠C=90°，
在△DGE和△FGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠F=90°}\\{∠DGE=∠FGH}\\{DG=GF}\end{array}\right.$，
∴△DGE≌△FGH，
∴EG=GH，DE=FH，
∴DH=EF=x，DE=FH=7.5-x，BH=10-FH=2.5+x，CH=10-x
在RT△BCH中，∵BH²=CH²+BC²，
∴（2.5+x）²=（10-x）²+7.5²，
∴x=6，
∴AE=6，
∵EM=MB，
∴∠MEB=∠MBE=∠EBA=∠AEN，∵∠EAN=∠EAB=90°，
∴△EAN∽△BAE，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AN}{AE}$，
∴$\frac{6}{10}$=$\frac{AN}{6}$，
∴AN=$\frac{18}{5}$．
故答案為$\frac{18}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查翻折變換、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)利用方程解決問題，屬于中考�？碱}型．