Question

20．圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓，用大圓的面積減去小圓的面積就是圓環(huán)的面積．
（1）如圖1，大圓的弦AB切小圓于點(diǎn)P，求證：AP=BP；
（2）若AB=2a，請用含有a的代數(shù)式表示圖1中的圓環(huán)面積；
（3）如圖2，若大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)，且AB=8，CD=6，則圓環(huán)的面積為7π．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)以及垂徑定理即可證明．
（2）根據(jù)圓環(huán)的面積等于兩圓的面積差，再根據(jù)切線的性質(zhì)定理、勾股定理、垂徑定理求解．
（3）首先連接OA，OC，由勾股定理可得：OE²=OA²-AE²，OE²=OC²-CE²，繼而可得OA²-OC²=7，則可求得圓環(huán)的面積

解答 （1）證明：如圖1中，連接OP．

∵AB是小圓的切線，P是切點(diǎn)，
∴OP⊥AB，
∴PA=PB．

（2）解：如圖1中，連接OB．
∵大圓的弦AB是小圓的切線，
∴OP⊥AB，AP=PB，
∴OB²-OP²=（2a÷2）²=a²，
∵S_{圓環(huán)}=S大-S小=π•OB²-π•OP²=π•（OB²-OP²），
∴S_{圓環(huán)}=πa²．

（3）解：如圖2中，連接OA，OC，作OE⊥AB于點(diǎn)E．

在Rt△AOE與Rt△OCE中：OE²=OA²-AE²，OE²=OC²-CE²，
∴OA²-AE²=OC²-CE²，
∴OA²-OC²=AE²-CE²，
∵AB=8，CD=6，
∴AE=EB=4，CE=DE=3，
∴OA²-OC²=7，
∴圓環(huán)的面積為：πOA²-πOC²=π（OA²-OC²）=7π．
故答案為7π．

點(diǎn)評 此題考查了垂徑定理、勾股定理、圓的面積的等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中考�？碱}型．