Question

5．已知拋物線的不等式為y=-x²+6x+c．
（1）若拋物線與x軸有交點(diǎn)，求c的取值范圍；
（2）設(shè)拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂．若x₁²+x₂²=26，求c的值．
（3）若P、Q是拋物線上位于第一象限的不同兩點(diǎn)，PA、QB都垂直于x軸，垂足分別為A、B，且△OPA與△OQB全等．求證：c＞-$\frac{21}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由題意△≥0，列出不等式即可解決問題．
（2）利用根與系數(shù)關(guān)系，列出方程即可解決問題．
（3）設(shè)P（m，n），則Q（n，m），列出方程組，求出m與n的關(guān)系，得到關(guān)于n的方程，根據(jù)判別式大于0，即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線與x軸有交點(diǎn)，
∴b²-4ac≥0，
∴36+4c≥0，
∴x≥-9．

（2）∵x₁+x₂=6，x₁x₂=-c，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=36+2c=26
∴c=-5．

（3）∵△OPA≌△QOB，
∴OA=BQ，AP=OB，
∴可以設(shè)P（m，n），則Q（n，m）
將P（m，n），Q（n，m）代入原解析式中得：$\left\{\begin{array}{l}{-{m}^{2}+6m+c=n}&{①}\\{-{n}^{2}+6n+c=m}&{②}\end{array}\right.$，
①-②得：n²-m²+6m-6n=n-m
∴n²-m²+7m-7n=0，
∴（n-m）（n+m-7）=0，
∴m=n或m=7-n，
∵m，n不相等，
∴m=7-n，
將m=7-n代入①得：n²-7n+7-c=0，
∵b²-4ac＞0，
∴49-4（7-c）＞0，
c＞-$\frac{21}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、根與系數(shù)的關(guān)系、方程組等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建一元二次方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題．