Question

8．已知關(guān)于x的兩個(gè)二次函數(shù)y₁=a₁x²+b₁x+c₁和y₂=a₂x²+b₂x+c₂的圖象關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，給出以下結(jié)論：
①a₁c₁=a₂c₂
 ②b₁c₁+b₂c₂=0； 
③函數(shù)y₃=y₁-y₂的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
④函數(shù)y₄=y₁+y₂的圖象是拋物線
則以上結(jié)論一定成立的是①②③（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）

Answer 1

分析 先求出二次函數(shù)y₁關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)y₁、y₂關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而得出-a₁=a₂、b₁=b₂、-c₁=c₂，即可判斷①②，根據(jù)y₃=y₁-y₂、y₄=y₁+y₂列出相應(yīng)函數(shù)解析式，由以上結(jié)論得出y₃=2a₁x²+2c₁、y₄=2b₁x，即可判斷③④．

解答 解：①∵y₁=a₁x²+b₁x+c₁和y₂=a₂x²+b₂x+c₂的圖象關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，
且y₁=a₁x²+b₁x+c₁關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的二次函數(shù)為-y₁=a₁x²-b₁x+c₁，即y₁=-a₁x²+b₁x-c₁
∴-a₁=a₂，b₁=b₂，-c₁=c₂，
∴a₁c₁=a₂c₂，故①正確；

②-b₁c₁=b₂c₂，即b₁c₁+b₂c₂=0，故②正確；

③∵y₃=y₁-y₂=a₁x²+b₁x+c₁-（a₂x²+b₂x+c₂）
=（a₁-a₂）x²+（b₁-b₂）x+（c₁-c₂）
=2a₁x²+2c₁，
∴函數(shù)y₃=y₁-y₂的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故③正確；

④∵y₄=y₁+y₂=a₁x²+b₁x+c₁+（a₂x²+b₂x+c₂）
=（a₁+a₂）x²+（b₁+b₂）x+（c₁+c₂）
=2b₁x，
∴函數(shù)y₄=y₁+y₂的圖象過(guò)原點(diǎn)的一條直線，故④錯(cuò)誤；
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，根據(jù)題意得出-a₁=a₂、b₁=b₂、-c₁=c₂是解題的關(guān)鍵．