Question

18．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知cosC=$\frac{1}{4}$，a²=b²+$\frac{1}{2}{c}^{2}$
（1）求sin（A-B）的值；
（2）若c=$\sqrt{10}$，求a和b．

Answer 1

分析 （1）由已知式子和余弦定理得b=$\frac{2a}{3}$、c=$\frac{\sqrt{10}a}{3}$，由余弦定理可得cosA和cosB，再由同名三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinA、sinB，由和差角的三角函數(shù)可得sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB，代入計(jì)算可得；
（2）由c=$\frac{\sqrt{10}a}{3}$=$\sqrt{10}$可得a的值，再代入b=$\frac{2a}{3}$可得b的值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，cosC=$\frac{1}{4}$，a²=b²+$\frac{1}{2}{c}^{2}$，
∴c²=2a²-2b²，由余弦定理可得c²=a²+b²-$\frac{1}{2}$ab，
∴2a²-2b²=a²+b²-$\frac{1}{2}$ab，整理可得2a²+ab-6b²=0，
因式分解可得：（a+2b）（2a-3b）=0，
解得：b=$\frac{2a}{3}$，
代入c²=2a²-2b²得，c=$\frac{\sqrt{10}a}{3}$，
由余弦定理可得cosA=$\frac{（\frac{2a}{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{10}a}{3}）^{2}-{a}^{2}}{2•\frac{2a}{3}•\frac{\sqrt{10}a}{3}}$=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$，
同理可得cosB=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，sinB=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB
=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$×$\frac{\sqrt{10}}{4}$-$\frac{\sqrt{10}}{8}$×$\frac{\sqrt{6}}{4}$
=$\frac{\sqrt{15}}{8}$；

（2）由c=$\frac{\sqrt{10}a}{3}$=$\sqrt{10}$可得a=3，
代入b=$\frac{2a}{3}$，得：b=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦定理及同名三角函數(shù)基本關(guān)系、和差角的三角函數(shù)，熟練掌握余弦定理和三角函數(shù)的相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵．