Question

18．如圖，公路AB為東西走向，在點(diǎn)A北偏東36.5°方向上，距離5千米處是村莊M；在點(diǎn)A北偏東53.5°方向上，距離10千米處是村莊N（參考數(shù)據(jù)；sin36.5°=0.6，cos36.5°=0.8，tan36.5°=0.75，sin23.6°=0.4，cos66.4°=0.4，tan21.8°=0.4）．
（1）求M，N兩村之間的距離；
（2）試問村莊N在村莊M的什么方向上？（精確到0.1度）

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)M作CD∥AB，NE⊥AB，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△ANE中求出NE，AE，繼而得出MD，ND的長度，在Rt△MND中利用勾股定理可得出MN的長度．
（2）在Rt△MND中，根據(jù)tan∠NMD=$\frac{ND}{MD}$=$\frac{2}{5}$=0.4km，再根據(jù)tan21.8°=0.4，得出∠NMD=21.8°，再根據(jù)∠MND=90°-∠NMD，即可得出村莊N在村莊M的北偏東68.2°方向上．

解答 解：過點(diǎn)M作CD∥AB，NE⊥AB，如圖：
在Rt△ACM中，∠CAM=36.5°，AM=5km，
∵sin36.5°=$\frac{CM}{5}$=0.6，
∴CM=3，AC=$\sqrt{A{M}^{2}-C{M}^{2}}$=4km，
在Rt△ANE中，∠NAE=90°-53.5°=36.5°，AN=10km，
∵sin36.5°=$\frac{NE}{10}$=0.6，
∴NE=6，AE=$\sqrt{A{N}^{2}-N{E}^{2}}$=8km，
∴MD=CD-CM=AE-CM=5km，ND=NE-DE=NE-AC=2km，
在Rt△MND中，MN=$\sqrt{M{D}^{2}+N{D}^{2}}$=$\sqrt{29}$（km）．

（2）在Rt△MND中，tan∠NMD=$\frac{ND}{MD}$=$\frac{2}{5}$=0.4（km），
∴∠NMD=21.8°，
∴∠MND=90°-21.8°=68.2°，
∴村莊N在村莊M的北偏東68.2°方向上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)值求解相關(guān)線段的長度，難度較大．