Question

10．某物流公司派送人員甲、乙分別從B地派送貨物到A、C兩地，如圖，A在B的北偏東45°方向，C在B的正東方向且BC=120km．乙的速度是60km/h，甲的速度是乙速度的$\sqrt{2}$倍，甲把貨物送到A地后又接到A地一批貨物要送到C地，結(jié)果兩人同時到達C地．
（1）∠BAC=90°；
（2）若甲乙兩人間的距離為s，請寫出s（km）與乙出發(fā)時間t（h）的函數(shù)表達式；并寫出當t為何值時，兩人間的距離最大？（注：貨物交接時間忽略不計）

Answer 1

分析 （1）作AD⊥BC于D，由題意求出∠ABC=45°，△ABD是等腰直角三角形，得出AB=$\sqrt{2}$BD，由甲的速度是乙速度的$\sqrt{2}$倍，得出△ACD是等腰直角三角形，∠DAC=45°，求出∠BAC=90即可；
（2）由（1）得出△ABC是等腰直角三角形，AD=BD=CD，由乙的速度求出乙到C地的時間，得出當0＜t≤1時，s=60t；當1＜t≤2時，s=120-60t；即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）作AD⊥BC于D，如圖所示：
由題意得：∠ABC=90°-45°=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$BD，
∵甲的速度是乙速度的$\sqrt{2}$倍，
∴AC=$\sqrt{2}$CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠DAC=45°，
∴∠BAC=45°+45°=90°；
故答案為：90；
（2）由（1）得：△ABC是等腰直角三角形，AD=BD=CD，
∵乙的速度是60km/h，BC=120km，
∴120÷60=2（h），
∴當0＜t≤1時，s=60t；
當1＜t≤2時，s=120-60t；
當t=1時，s=AD=$\frac{1}{2}$BC=60，
即當t為何值時，兩人間的距離最大，最大值是60km．

點評 本題考查了解直角三角形的運用-方向角問題、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；證出∠BAC=90°是解決問題的關(guān)鍵．