Question

3．如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段AB、線段EF的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．
（1）在圖中畫以EF為直角邊的等腰直角△DEF，點(diǎn)D在小正方形的挌點(diǎn)上；
（2）在（1）的條件下，在圖中以AB為邊畫Rt△BAC，點(diǎn)C在小正方形的挌點(diǎn)上，使∠BAC=90°，且tan∠ACB=$\frac{2}{3}$，連接BD，直接寫出線段BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖1，作一條邊DE和EF相等，且夾角為90°即可；
（2）如圖2，作∠BAC=90°，且邊AC=3$\sqrt{2}$，才能滿足條件；利用勾股定理求BD的長(zhǎng)．

解答 解：（1）如圖1，
由勾股定理得：DF=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴DF=EF，
∵DE=6，
∴DF²+EF²=（3$\sqrt{2}$）²+（3$\sqrt{2}$）²=36，DE²=6²=36，
∴DF²+EF²=DE²，
∴△DEF是等腰直角三角形；
（2）如圖2，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
AC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{26}$，
∴AB²+AC²=（2$\sqrt{2}$）²+（3$\sqrt{2}$）²=26，
BC²=（$\sqrt{26}$）²=26，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
tan∠ACB=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{2}{3}$，
∴BD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形的作圖題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定及勾股定理及其逆定理的運(yùn)用，并按條件作出三角形；本題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理及其逆定理．