Question

7．如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等邊三角形．如圖②，將四邊形ACBD折疊，使D與C重合，EF為折痕，則∠ACE的正弦值為$\frac{1}{7}$．

Answer 1

分析 在Rt△ABC中，設(shè)AB=2a，已知∠ACB=90°，∠CAB=30°，即可求得AB、AC的值，由折疊的性質(zhì)知：DE=CE，可設(shè)出DE、CE的長，然后表示出AE的長，進而可在Rt△AEC中，由勾股定理求得AE、CE的值，即可求∠ACE的正弦值．

解答 解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，設(shè)AB=2a，
∴AC=$\sqrt{3}$a，BC=a；
∵△ABD是等邊三角形，
∴AD=AB=2a；
設(shè)DE=EC=x，則AE=2a-x；
在Rt△AEC中，由勾股定理，得：（2a-x）²+3a²=x²，
解得：x=$\frac{7}{4}$a；
∴AE=$\frac{1}{4}$a，EC=$\frac{7}{4}$a，
∴sin∠ACE=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{1}{7}$；
故答案為：$\frac{1}{7}$．

點評 本題考查的是翻折變換，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵．