Question

19．如圖，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點坐標(biāo)分別為（3，0）和（0，3$\sqrt{3}$）．動點P從A點開始沿折線AO-OB-BA運動，點P在AO，OB，BA上運動，速度分別為1，$\sqrt{3}$，2（長度單位/秒）﹒一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以$\frac{\sqrt{3}}{3}$（長度單位/秒）的速度向上平行移動（即移動過程中保持l∥x軸），且分別與OB，AB交于E，F(xiàn)兩點﹒設(shè)動點P與動直線l同時出發(fā)，運動時間為t秒，當(dāng)點P沿折線AO-OB-BA運動一周時，直線l和動點P同時停止運動．
請解答下列問題：
（1）過A，B兩點的直線解析式是y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，∠BAO=60°；
（2）當(dāng)t﹦4時，點P的坐標(biāo)為（0，$\sqrt{3}$）；當(dāng)t﹦$\frac{9}{2}$，點P與點E重合；
（3）作點P關(guān)于直線EF的對稱點P′．在運動過程中，若形成的四邊形PEP′F為菱形，則t的值是多少？

Answer 1

分析 （1）設(shè)過A，B兩點的直線解析式是y=kx+b，利用待定系數(shù)法求出直線解析式，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠BAO；
（2）根據(jù)題意列出算式求出OP的長度即可；
（3）分點P在在AO，OB，BA上三種情況，根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義計算即可．

解答 解：（1）設(shè)過A，B兩點的直線解析式是y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=3\sqrt{3}}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式是y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，
∵∠B=30°，
∴∠BAO=60°，
故答案為：y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$；60°；
（2）當(dāng)t﹦4時，OP=（4-3）×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴點P的坐標(biāo)為（0，$\sqrt{3}$）；
當(dāng)點P與點E重合時，（t-3）×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
解得，t=$\frac{9}{2}$
∴t=$\frac{9}{2}$，點P與點E重合；
故答案為：（0，$\sqrt{3}$）；$\frac{9}{2}$；
（3）①當(dāng)點P在線段AO上時，過F作FG⊥x軸，G為垂足（如圖1）
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°，
∴△EOP≌△FGP（SAS），
∴OP=PG，
又∵OE=FG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，∠A=60°，
∴AG=FGtan60°=$\frac{1}{3}$t；
而AP=t，
∴OP=3-t，PG=AP-AG=$\frac{2}{3}$t，
由3-t=$\frac{2}{3}$t，得t=$\frac{9}{5}$；
當(dāng)點P在線段OB上時，形成的是三角形，不存在菱形；
當(dāng)點P在線段BA上時，
過P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分別為垂足（如圖2），則四邊形PMEH是矩形，
∴PM=EH．
∵四邊形PEP'F是菱形，
∴EH=FH．
∵OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
∴BE=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
∴EF=BEtan60°=3-$\frac{t}{3}$，
∴MP=EH=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{9-t}{6}$，又BP=2（t-6），
在Rt△BMP中，BP•cos60°=MP
即2（t-6）•$\frac{1}{2}$=$\frac{9-t}{6}$，
解得t=$\frac{45}{7}$．

點評 本題考查的是菱形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的概念，正確作出輔助性、靈活運用相關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的運用．