Question

12．如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)E從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿AB的方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)D從頂點(diǎn)B出發(fā)，沿BC的方向運(yùn)動(dòng)，它們的速度相同，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，D、E兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求證：CE=AD；
（2）連接AD、CE交于點(diǎn)M，則在D、E運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMD變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)；
（3）如圖2，若點(diǎn)D從頂點(diǎn)B出發(fā)后，沿BC相反的方向運(yùn)動(dòng)，其它條件不變．求證：CE=DE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得△CAE≌△ABD，從而得證；
（2）由（1）中全等得到結(jié)果；
（3）過點(diǎn)E作EF平行于BC交AC于點(diǎn)F，易證△AEF為等邊三角形，由此得到△CFE≌△EBD，從而得證．

解答 （1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠CAE=∠ABD=60°，
在△CAE和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAE=∠ABD}\\{AE=BD}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△ABD，
∴CE=AD；
（2）解：∠CMD的大小不變，
∵△CAE≌△ABD，
∴∠ACE=∠BAD，
∵∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，
∴∠CMD=∠CAD+∠ACE=∠CAD+∠BAD=60°；
（3）證明：如圖，

過點(diǎn)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F，
則∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，△AEF為等邊三角形，
在△CFE和△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=AE=BD}\\{∠EFC=∠DBE=120°}\\{CF=EB}\end{array}\right.$，
∴△CFE≌△EBD，
∴CE=DE．

點(diǎn)評(píng) 此題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，掌握三角形全等的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．