Question

19．已知：拋物線y=x²+（2m-1）x+m²-1經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減�。�
（1）求拋物線的解析式；
（2）結(jié)合圖象寫出y＜0時(shí)，對應(yīng)的x的取值范圍；
（3）設(shè)點(diǎn)A是該拋物線上位于x軸下方的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D，再作AB⊥x軸于點(diǎn)B，DC⊥x軸于點(diǎn)C．當(dāng)BC=1時(shí)，直接寫出矩形ABCD的周長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象過原點(diǎn)，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（2）根據(jù)函數(shù)與不等式的關(guān)系：圖象位于x軸下方部分是不等式的解集，可得答案；
（3）根據(jù)平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，可得A、D點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，根據(jù)AB⊥x軸于點(diǎn)B，DC⊥x軸于點(diǎn)C，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)矩形的周長公式，可得答案．

解答 解：（1）由y=x²+（2m-1）x+m²-1經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，得
m²-1=0，解得m=1或m=-1．
當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，
得m=-1．
拋物線的解析式y(tǒng)=x²-3x；
（2）由圖象1，得
位于x軸下方的部分，
y＜0時(shí)，對應(yīng)的x的取值范圍0＜x＜3；
（3）如圖2，
由AD∥x軸，得
A、D關(guān)于對稱軸x=1.5對稱，
B、C關(guān)于對稱軸x=1.5對稱，且BC=1，得
1.5-0.5=1，即B（1，0）．
當(dāng)x=1時(shí)，y=1-3=-2，
即A（1，-2）．
矩形ABCD的周長為2（AB+BC）=2×（2+1）=6．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用函數(shù)與不等式的關(guān)系：圖象位于x軸下方部分是不等式的解集；利用平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱得出A、D關(guān)于對稱軸對稱是解題關(guān)鍵．