Question

13．在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上（不與點(diǎn)A、B、C重合），點(diǎn)P是直線AB上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）．設(shè)∠PDA=x，∠PEB=y，∠DPE=m，∠C=n．
  （1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動，且n=90°時
①若PD∥BC，PE∥AC，則m=90°；
②若m=50°，求x+y的值．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動時，直接寫出x、y、m、n之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）①證明四邊形DPEC為平行四邊形可得結(jié)論；
②根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，列等式求出x+y的值；
（2）根據(jù)P、D、E位置的不同，分五種情況：①y-x=m+n，如圖2，點(diǎn)P在BA的延長線上時，根據(jù)三角形的內(nèi)角和與外角定理列等式，化簡后得出結(jié)論；
②x-y=m-n，如圖3，點(diǎn)P在BA的延長線上時，根據(jù)三角形的內(nèi)角和與外角定理列等式，化簡后得出結(jié)論；
③x+y=m+n，如圖4，點(diǎn)P在線段BA上時，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°列等式，化簡后得出結(jié)論；
④x-y=m+n，如圖5，同理得出結(jié)論；
⑤y-x=m-n，如圖6，同理得出結(jié)論．

解答 解：（1）①如圖1，∵PD∥BC，PE∥AC，
∴四邊形DPEC為平行四邊形，
∴∠DPE=∠C，
∵∠DPE=m，∠C=n=90°，
∴m=90°；
②∵∠ADP=x，∠PEB=y，
∴∠CDP=180°-x，∠CEP=180°-y，
∵∠C+∠CDP+∠DPE+∠CEP=360°，
∠C=90°，∠DPE=50°，
∴90°+180°-x+50°+180°-y=360°，
∴x+y=140°；
（2）分五種情況：
①y-x=m+n，如圖2，理由是：
∵∠DFP=n+∠FEC，∠FEC=180°-y，
∴∠DFP=n+180°-y，
∵x+m+∠DFP=180°，
∴x+m+n+180°-y=180°，
∴y-x=m+n；
②x-y=m-n，如圖3，理由是：
同理得：m+180°-x=n+180°-y，
∴x-y=m-n；
③x+y=m+n，如圖4，理由是：
由四邊形內(nèi)角和為360°得：180°-x+m+180°-y+n=360°，
∴x+y=m+n；
④x-y=m+n，如圖5，理由是：
同理得：180°=m+n+y+180°-x，
∴x-y=m+n；
⑤y-x=m-n，如圖6，理由是：
同理得：n+180°-x=m+180°-y，
∴y-x=m-n．

點(diǎn)評 本題是三角形的綜合題，難度不大，考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定及三角形的內(nèi)角和、外角定理，熟練掌握三角形的內(nèi)角和為180°及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；能根據(jù)動點(diǎn)位置的不同準(zhǔn)確列出各角之間的關(guān)系式并化簡即可．