Question

4．如圖1在平面直角坐標(biāo)系中．等腰Rt△OAB的斜邊OA在x軸上．P為線段OB上-動(dòng)點(diǎn)（不與O，B重合）．過P點(diǎn)向x軸作垂線．垂足為C．以PC為邊在PC的右側(cè)作正方形PCDM．OP=$\sqrt{2}$t、OA=3．設(shè)過O，M兩點(diǎn)的拋物線為y=ax²+bx．其頂點(diǎn)N（m，n）
（1）寫出t的取值范圍0＜t＜$\frac{3}{2}$，寫出M的坐標(biāo)：（2t，t）；
（2）用含a，t的代數(shù)式表示b；
（3）當(dāng)拋物線開向下，且點(diǎn)M恰好運(yùn)動(dòng)到AB邊上時(shí)（如圖2）
①求t的值；
②若N在△OAB的內(nèi)部及邊上，試求a及m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖1，先計(jì)算OB的長，因?yàn)镻為線段OB上-動(dòng)點(diǎn)（不與O，B重合），利用時(shí)間=$\frac{路程}{速度}$得出t的取值；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)表示邊長OC和PC的長，寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，所以把M（2t，t）代入到y(tǒng)=ax²+bx中化簡即可；
（3）如圖2，①根據(jù)平行線分線段成比例定理列比例式，得到關(guān)于t的方程解出即可；
②分兩種情況討論：
i）當(dāng)0≤-$\frac{2a}$≤$\frac{3}{2}$時(shí)，即a≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)相等，且點(diǎn)P在△AOB的邊上，所以要想保證拋物線頂點(diǎn)N在△OAB的內(nèi)部及邊上，則頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)要大于或等于縱坐標(biāo)，則-$\frac{2a}$≥-$\frac{^{2}}{4a}$，解得a≥-$\frac{3}{4}$，綜合一起a的取值為-$\frac{3}{4}$≤a≤-$\frac{1}{2}$；
ii）當(dāng)$\frac{3}{2}$＜-$\frac{2a}$≤3時(shí)，即-$\frac{1}{2}$＜a≤-$\frac{1}{8}$，因?yàn)椤螼AB=45°，所以要想保證拋物線頂點(diǎn)N在△OAB的內(nèi)部及邊上，則OA-m≥n，列式得3-（-$\frac{2a}$）≥-$\frac{^{2}}{4a}$，得1≤b≤3，代入b=$\frac{1-4at}{2}$=$\frac{1}{2}$-2a計(jì)算出a的取值，則-$\frac{1}{2}$＜a≤-$\frac{1}{4}$；綜上所述：a的取值為：-$\frac{3}{4}$≤a≤-$\frac{1}{4}$，要注意不是取公共部分，而是取所有符合i）和ii）的a值；因?yàn)閙=-$\frac{2a}$=1-$\frac{1}{4a}$，根據(jù)a的取值計(jì)算m的取值．

解答 解：（1）如圖1，∵△OAB為等腰直角三角形，OA=3，
∴OB=AB=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵P為線段OB上-動(dòng)點(diǎn)（不與O，B重合），
∴0＜$\sqrt{2}$t＜$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴0＜t＜$\frac{3}{2}$，
∵四邊形PCDM為正方形，
∴∠PCO=90°，
∵∠POC=45°，
∴△POC為等腰直角三角形，
∵OP=$\sqrt{2}$t，
∴PC=OC=t，
∴OD=t+t=2t，
∴M（2t，t）；
（2）把M（2t，t）代入到y(tǒng)=ax²+bx中得：
t=4at²+2tb，
1=4at+2b，
b=$\frac{1-4at}{2}$；
（3）①如圖2，∵OB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，OP=$\sqrt{2}$t，
∴PB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}$t，
∵PM∥OA，
∴$\frac{PM}{OA}=\frac{PB}{OB}$，
∴$\frac{t}{3}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}t}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$，
∴t=1；
②由（2）得：b=$\frac{1-4at}{2}$=$\frac{1}{2}$-2a，即4a=1-2b，
頂點(diǎn)N（-$\frac{2a}$，-$\frac{^{2}}{4a}$）（a＜0，b＞0），
i）當(dāng)0≤-$\frac{2a}$≤$\frac{3}{2}$時(shí)，即a≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，
-$\frac{2a}$≥-$\frac{^{2}}{4a}$，解得a≥-$\frac{3}{4}$，
∴-$\frac{3}{4}$≤a≤-$\frac{1}{2}$，
ii）當(dāng)$\frac{3}{2}$＜-$\frac{2a}$≤3時(shí)，即-$\frac{1}{2}$＜a≤-$\frac{1}{8}$，
3-（-$\frac{2a}$）≥-$\frac{^{2}}{4a}$，
b²-4b+3≤0，
1≤b≤3，
1≤$\frac{1}{2}$-2a≤3，-$\frac{5}{4}$≤a≤-$\frac{1}{4}$，
則-$\frac{1}{2}$＜a≤-$\frac{1}{4}$，
綜上所述：a的取值為：-$\frac{3}{4}$≤a≤-$\frac{1}{4}$，
m=-$\frac{2a}$=1-$\frac{1}{4a}$，
得：4am=4a-1，a=-$\frac{1}{4m-4}$=$\frac{1}{4（1-m）}$，
-$\frac{3}{4}$≤$\frac{1}{4（1-m）}$≤-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{4}{3}$≤m≤2．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了等腰直角三角形、正方形的性質(zhì)，與二次函數(shù)相結(jié)合，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)，表示邊的長及求點(diǎn)的坐標(biāo)；對于動(dòng)點(diǎn)P，要明確其運(yùn)動(dòng)的路徑、速度、時(shí)間，根據(jù)路程OP的長和速度$\sqrt{2}$表示出時(shí)間的范圍；根據(jù)45°的特殊三角函數(shù)值，計(jì)算出OC和PC的長；本題還利用了平行線分線段成比例定理列比例式，得方程，求出方程的解即可得到t的值；對于最后一個(gè)問題，利用了對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分情況進(jìn)行討論，得出取值．