Question

10．如圖是某學校主樓梯從底樓到二樓的樓梯截面圖，已知BC=7米，AB=6+3$\sqrt{3}$米，中間平臺DE與地面AB平行，且DE的長度為2米，DM、EN為平臺的兩根支柱，DM、EN垂直于AB，垂足分別為M、N，∠EAB=30°，∠CDF=45°，樓梯寬度為3米．
（1）若要在樓梯上（包括平臺DE）鋪滿地毯，求地毯的長度；
（2）沿樓梯從A點到E點鋪設(shè)價格為每平方米100元的地毯，從E點到C點鋪設(shè)價格為每平方米120元的地毯，求用地毯鋪滿整個樓梯共需要花費多少元錢？

Answer 1

分析 （1）由圖可知：地毯的總長度是（AB+BC）的長，已知了樓道的寬度，可由矩形的面積公式求出地毯的總面積；
（2）關(guān)鍵是求出AN、NE、DF、FC的長，可設(shè)AN=x，然后用x表示出EN、DF、CF的長，由于△CDF是等腰直角三角形，則DF=CF，根據(jù)這個等量關(guān)系，可求出x的值，進而可求出AN、NE、DF、CF的長，然后再根據(jù)兩段地毯的單價求出鋪滿樓梯所花費的總價錢．

解答 解：（1）地毯的長度=AB+BC=7+6+3$\sqrt{3}$=13+3$\sqrt{3}$（米）；
（2）設(shè)EN=DM=BF=x，則BM=DF=CF=7-x，
∵EN⊥AB，∠EAB=30°，
∴AN=$\sqrt{3}$EN=$\sqrt{3}$x，
∵AB=AN+MN+MB，
∴$\sqrt{3}$x+2+（7-x）=6+3$\sqrt{3}$，
解得：x=3，
即平臺的高度為3m，
所需費用為100×3×（AN+EN）+120×3×（ED+DF+CF）=100×3×（3$\sqrt{3}$+3）+120×3×（2+4+4）=900$\sqrt{3}$+4500（元）；
答：用地毯鋪滿整個樓梯共需要花費（900$\sqrt{3}$+4500）元錢．

點評 本題考查了勾股定理的應(yīng)用、解直角三角形中特殊角三角函數(shù)的應(yīng)用，能夠正確的求出AN的長是解答此題的關(guān)鍵．