Question

5．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點B₁、點C₁的坐標(biāo)分別為（1，0），（1，$\sqrt{3}$）．將△OB₁C₁繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°，再將其各邊都擴大為原來的m倍，使OB₂=OC₁，得到△OB₂C₂，將△OB₂C₂繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°，再將其各邊都擴大為原來的m倍，使OB₃=OC₂，得到△OB₃C₃，如此下去，得到△OB_nC_n．
（1）m的值是2；
（2）△OB₂₀₁₁C₂₀₁₁中，點C₂₀₁₁的坐標(biāo)：（2²⁰¹⁰，2²⁰¹⁰$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 （1）易得OB₂=mOB₁=OC₁，根據(jù)最初的三角形中OB₁，OC₁的關(guān)系可得m的值；
（2）可得旋轉(zhuǎn)6次后，正好旋轉(zhuǎn)一周，那么可得點C₂₀₁₁的坐標(biāo)跟C₁的坐標(biāo)在一條射線上，其橫縱坐標(biāo)均為原來的2010倍．

解答 解：（1）在△OB₁C₁中，
∵OB₁=1，B₁C₁=$\sqrt{3}$，
∴tan∠C₁OB₁=$\sqrt{3}$，
∴∠C₁OB₁=60°，OC₁=2，
∵OB₂=mOB₁，OB₂=OC₁，
∴m=2，
故答案為2；

（2）∵每一次的旋轉(zhuǎn)角是60°，
∴旋轉(zhuǎn)6次后C在x軸正半軸上，
∴2011÷6=335…1，
∴點C₂₀₁₁的坐標(biāo)跟C₁的坐標(biāo)在一條射線上，
∵第2次旋轉(zhuǎn)后，各邊長是原來的2倍，第3次旋轉(zhuǎn)后，各邊長是原來的2²倍，
∴點C₂₀₁₁的橫縱坐標(biāo)均為原來的2010倍．
故答案為：（2²⁰¹⁰，2²⁰¹⁰$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)，解直角三角形，根據(jù)解直角三角形，以及30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出m的值是解題的關(guān)鍵．