Question

3．在正方形ABCD中，E、F分別為射線DA、DC上的點（與正方形頂點不重合），AE=CF，作GF=BF交射線AB于點G，直線GF與BE交于點H．
（1）若點E、F分別在邊DA、DC上，如圖1，
①依題意補全圖1；
②判斷BE與GF的位置關系，并加以證明；
（2）若E、F分別在邊DA、DC的延長線上，用等式表示線段EH、FH、DH之間的數(shù)量關系，并寫出你的證明思路．

Answer 1

分析 （1）①畫出圖形；
②如圖2，作輔助線，構建全等三角形，證明△ABE≌△BCF和Rt△EAB≌Rt△MBC，得∠MCB=∠ABE，則∠MNB=90°，所以GF⊥BE；
（2）作輔助線，構建全等三角形和等腰直角三角形，證明△AEB≌△MFG和△DEN≌△DFH，得DN=DH，∠NDE=∠HDF，再證明△NDH是等腰直角三角形，可得結論．

解答 解：（1）①如圖1所示：
②BE⊥GF，理由是：
如圖2，過C作CM∥GF，交AB于M，交BE于N，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴DC∥AB，AB=CB，∠A=∠DCB=90°，
∴FC∥GM，
∴四邊形FGMC為平行四邊形，
∴CM=GF，
∵GF=BF，
∴CM=BF，
∵AE=CF，∠A=∠DCB，AB=BC，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴BE=BF，
∴CM=BE，
∴Rt△EAB≌Rt△MBC（HL），
∴∠MCB=∠ABE，
∵∠MCB+∠CMB=90°，
∴∠CMB+∠ABE=90°，
∴∠MNB=90°，
∵GF∥CM，
∴∠GHB=∠MNB=90°，
∴GF⊥BE；

（2）FH+EH=$\sqrt{2}$DH，理由是：
如圖3，由（2）得：BE=BF=GF，
過G作GM⊥DC于M，
同理得：△AEB≌△MFG，
∴∠AEB=∠GFM，
延長BE至N，使FH=EN，連接DN，
∵AD=DC，AE=CF，
∴AD+AE=DC+CF，
即AE=DF，
∵∠AEB=∠GFM，
∴∠DEN=∠DFH，
∴△DEN≌△DFH（SAS），
∴DN=DH，∠NDE=∠HDF，
∵∠EDF=90°，
∴∠NDH=90°，
∴△NDH是等腰直角三角形，
∴NH=$\sqrt{2}$DH，
即NE+EH=$\sqrt{2}$DH，
∴FH+EH=$\sqrt{2}$DH．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，第3問作輔助線構建等腰直角△DNH是關鍵，本題難度適中．