Question

14．在菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，E為AB的中點(diǎn)，若在線(xiàn)段BD上取一點(diǎn)P，則PA+PE的最小值是（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 4
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． 2$\sqrt{7}$

Answer 1

分析 如圖，連接CE交BD于P，則PA+PE的最小值=CE，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BC=AB=4，∠ABC=120°，由E為AB的中點(diǎn)，得到BE=$\frac{1}{2}$AB=2，過(guò)E作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，得到∠FBE=60°，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖，連接CE交BD于P，則PA+PE的最小值=CE，
∵在菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，
∴BC=AB=4，∠ABC=120°，
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=2，
過(guò)E作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，
∴∠FBE=60°，
∴BF=1，EF=$\sqrt{3}$，
∴CF=5，
∴CE=$\sqrt{C{F}^{2}+E{F}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴PA+PE的最小值是2$\sqrt{7}$，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，難度適中，確定點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．