Question

2．一個邊長為4的等邊三角形ABC的高與⊙O的直徑相等，如圖放置，⊙O與BC相切于點C，⊙O與AC相交于點E，
（1）求等邊三角形的高；
（2）求CE的長度；
（3）若將等邊三角形ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°），求α為多少時，等邊三角形的邊所在的直線與圓相切．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥MC于M，在Rt△ACM中，利用勾股定理即可解決問題．
（2）連接EF，在Rt△CEF中，利用勾股定理即可解決問題．
（3）畫出圖形即可解決問題．

解答 解：（1）如圖，作AM⊥MC于M．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠MAC=∠MAB=30°，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴AM=$\sqrt{A{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

（2）∵CF是⊙O直徑，
∴CF=CM=2$\sqrt{3}$，連接EF，則∠CEF=90°，
∵∠ECF=90°-∠ACB=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$CF=$\sqrt{3}$，
∴CE=$\sqrt{C{F}^{2}-E{F}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=3．

（3）由圖象可知，α=60°或120°或180°或300°時，等邊三角形的邊所在的直線與圓相切．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用勾股定理，直角三角形30度角性質(zhì)解決問題，學(xué)會畫圖解決旋轉(zhuǎn)角度問題，屬于中考�？碱}型．