Question

12．如圖1（注：與圖2完全相同），二次函數(shù)y=$\frac{4}{3}$x²+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（-1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為D，求△ACD的面積（請(qǐng)?jiān)趫D1中探索）；
（3）若點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿AB，AC邊運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，△APQ沿PQ所在的直線翻折，點(diǎn)A恰好落在拋物線上E點(diǎn)處，請(qǐng)直接判定此時(shí)四邊形APEQ的形狀，并求出E點(diǎn)坐標(biāo)（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索）．

Answer 1

分析 （1）將A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)y=$\frac{4}{3}$x²+bx+c中，求得b、c，進(jìn)而可求解析式；
（2）由解析式先求得點(diǎn)D、C坐標(biāo)，再根據(jù)S_△ACD=S_梯形AOMD-S_△CDM-S_△AOC，列式計(jì)算即可；
（3）注意到P，Q運(yùn)動(dòng)速度相同，則△APQ運(yùn)動(dòng)時(shí)都為等腰三角形，又由A、E對(duì)稱(chēng)，則AP=EP，AQ=EQ，易得四邊形四邊都相等，即菱形．利用菱形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)可用t表示E點(diǎn)坐標(biāo)，又E在二次函數(shù)的圖象上，所以代入即可求t，進(jìn)而E可表示．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=$\frac{4}{3}$x²+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}×9+3b+c=0}\\{\frac{4}{3}×1-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{8}{3}}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-4；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M，

∵y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-4=$\frac{4}{3}$（x-1）²-$\frac{16}{3}$，
∴點(diǎn)D（1，-$\frac{16}{3}$）、點(diǎn)C（0，-4），
則S_△ACD=S_梯形AOMD-S_△CDM-S_△AOC
=$\frac{1}{2}$×（1+3）×$\frac{16}{3}$-$\frac{1}{2}$×（$\frac{16}{3}$-4）×1-$\frac{1}{2}$×3×4
=4；

（3）四邊形APEQ為菱形，E點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{5}{8}$，-$\frac{29}{16}$）．理由如下
如圖2，E點(diǎn)關(guān)于PQ與A點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)Q作，QF⊥AP于F，

∵AP=AQ=t，AP=EP，AQ=EQ
∴AP=AQ=QE=EP，
∴四邊形AQEP為菱形，
∵FQ∥OC，
∴$\frac{AF}{AO}$=$\frac{FQ}{OC}$=$\frac{AQ}{AC}$，
∴$\frac{AF}{3}$=$\frac{FQ}{4}$=$\frac{t}{5}$
∴AF=$\frac{3}{5}$t，F(xiàn)Q=$\frac{4}{5}$t•
∴Q（3-$\frac{3}{5}$t，-$\frac{4}{5}$t），
∵EQ=AP=t，
∴E（3-$\frac{3}{5}$t-t，-$\frac{4}{5}$t），
∵E在二次函數(shù)y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-4上，
∴-$\frac{4}{5}$t=$\frac{4}{3}$（3-$\frac{8}{5}$t）²-$\frac{8}{3}$（3-$\frac{8}{5}$t）-4，
∴t=$\frac{145}{64}$，或t=0（與A重合，舍去），
∴E（-$\frac{5}{8}$，-$\frac{29}{16}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知識(shí)，總體來(lái)說(shuō)題意復(fù)雜但解答內(nèi)容都很基礎(chǔ)，熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．